Задание 19. Вариант 1 из 36 вариантов ЕГЭ 2018 г

Задание 19. Вариант 1 из 36 вариантов ЕГЭ 2018 г. На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Решение.

а) Например, следующий набор чисел удовлетворяет условию задачи:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 2, 4, ..., 50, 52, 56.

б) Пусть на доске написано ровно два числа, оканчивающихся на 3. Тогда на доске 33 чётных числа. Их сумма не меньше, чем сумма 33 наименьших чётных чисел:

.

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1062.

в) Пусть на доске написано n чисел, оканчивающихся на 3, и 35-n чётных чисел. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 3, не меньше

,

а сумма чётных чисел не меньше

.

Таким образом,

откуда, учитывая, что n — целое, получаем  .

Если на доске написано пять чисел, оканчивающихся на 3, и 30 чётных чисел, то их сумма нечётна. Значит, чисел, оканчивающихся на 3, больше пяти.

Приведём пример шести чисел, оканчивающихся на 3, и 29 чётных чисел, сумма которых равна 1062:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.