Задание 14. Вариант 34 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. Вариант 34 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а АВ = ВС = АС= 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.

Решение.

а) Пирамида ABCD с основанием ABC называется правильной, если в основании лежит правильный треугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (центр правильного треугольника – это центр вписанной в него окружности).

По условию задачи треугольник ABC – правильный, так как АВ = ВС = АС= 14. Проведем отрезок DO, где D – вершина пирамиды; O – центр треугольника ABC. Докажем, что DO – высота, то есть,  .

По условию задания  , следовательно,   и  , откуда имеем, что   (так как DO лежит в плоскости DAK). Аналогично доказывается, что   по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, DO – высота пирамиды, а сама пирамида ABCD – правильная.

б) Треугольники DMN и DAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, можно записать следующее отношение:

,

откуда

.

Так как пирамида правильная, то

и   - равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором обозначим BD=DC=7x, а сторона BC=14 по условию.

Согласно теореме Пифагора   или в виде

То есть,   (так как DN : NC = 6:1, то NC=x).

Найдем BN из треугольника BNC, в котором   (так как  , что следует из равнобедренного, прямоугольного треугольника BDC). Тогда, в соответствии с теоремой косинусов, имеем:

Соответственно,  . Площадь сечения MNB равна площади равнобедренного треугольника MNB со сторонами BM=BN и основанием MN=12.

Высота   и площадь треугольника MNB:

Ответ:  .