Задание 16. Вариант 23 из 36 вариантов ЕГЭ 2021 Ященко И.

Задание 16. Вариант 23 из 36 вариантов ЕГЭ 2021 Ященко И.

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что AK = 19, KL = 12, LB = 3.

Решение.

а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса, следовательно,  . Так как AD параллельна BC, то   и  , следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.

Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.

Далее,  , следовательно, OH – медиана и LH=KH:

Так как OH – высота прямоугольного треугольника OAB, то

и высота ромба

Ответ: 30.