Взаимное расположение прямых в пространстве.

Государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Волгоградский техникум

железнодорожного транспорта и коммуникаций»

Методическая разработка

открытого урока по математике

По теме: «Взаимное расположение прямых в пространстве».

Разработал: Преподаватель 1 категории Сугак Т.В.

Волгоград 2017

Урок по теме: "Взаимное расположение прямых в пространстве".

Типология урока:

Урок ознакомления с новым материалом;

Цели урока:

Содержательная:

Введение нового материала – расположение прямых в пространстве и ознакомление с понятийной базой, связанной с основными фигурами пространства, закрепление и повторение материала об аксиомах и теоремах стереометрии на тренировочных упражнениях;

Деятельностная:

Формирование у студентов умений организовывать себя на работу, проводить сравнительный анализ полученного результата, пользоваться умением самопроверки, реализации всевозможных способов работы с предложенными заданиями. Формирование умений решать упражнений творческого характера, и умений доказывать теоремы;

Дидактическая:

Воспитание творческой активности, пробуждение любознательности студентов, предлагая им задачи соразмерные их знаниям. Привить к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности.

Базовые знания:

Понятие аксиомы, теоремы, точки, прямой и плоскости в пространстве;

Формы учебной работы:

Урок - творческая мастерская;

Оборудование:

компьютер, презентация;

мультимедийный проектор;

экран; доска;

рабочие тетради;

макет;

Структура урока

1. Организационный этап

2. Целеполагание: сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

4. Ознакомление с новым материалом.

   1. Ознакомление с новыми умениями через самостоятельное определение взаимного расположения прямых в пространстве.

   2. Выполнение заданий, полученных студентами, как самостоятельное освоение задач дома.

   3. Выполнение упражнений, используя ПО «Геометрия», для освоения и

закрепление полученных умений и навыков.

1. Упражнение на исследование и решение задачи по изготовленному макету.

1. Домашнее задание.

2. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный этап.

Здравствуйте, уважаемые преподаватели, гости и студенты! Я очень рада всех вас видеть, на моем уроке. Уважаемые студенты! Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой простой задачи присутствует крупица открытия.

Поэтому моя цель – показать, что задача, которую вы решаете, может быть скромной. И если она бросает вызов вашей любознательности, и заставляет вас быть изобретательным, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума, и насладиться радостью победы.

Мы сегодня осваиваем новую тему. В тетрадях записываем число, номер урока. А тему урока постарайтесь определить самостоятельно. Как будете готовы, - скажете.

Наш урок назовем уроком творческой мастерской. Докажем гостям, что мы лучшие творцы и обладаем способностями к математике, должны выявить свои таланты и вкусы, так как вы не можете знать, что любите пирог с малиной, если его никогда не пробовали. Вы можете, обнаружить, что математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и что напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис. Изведав удовольствие от занятий математикой, вы ее забудете нескоро, и вот тогда, очень вероятно, математика займет определенное место в вашей жизни: как предмет любительского увлечения или как инструмент в вашей профессиональной работе.  Итак, творцы, за дело! Побеждает тот, кто к победе стремится.

1. Целеполагание.

Цели урока:

1. закрепить пройденный материал;

2. усвоить новый материал;

3. научиться видеть геометрические понятия в окружающем нас мире;

3. Освоить доказательство некоторых утверждений и самому научиться доказывать и решать задачи творческого характера;

.

1. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Чтоб освоить новый материал, необходимо закрепить и вспомнить материал предыдущего занятия. Повторим?

- Основные понятия теоремы, аксиомы, стереометрии и планиметрии.

- Основные фигуры пространства: точка, прямая и плоскость

- Аксиомы и теоремы стереометрии.

На слайде по изображенным чертежам, необходимо выбрать какому чертежу какая аксиома или теорема соответствуют.

В следующей задаче учимся видеть и различать понятия прямые и плоскости. Как они могут располагаться по отношению друг к другу.

Задача №1:

Найти по чертежу:

1. Плоскости, в которых лежат прямые MN;PM;РТ

2. Точки пересечения прямой MN с плоскостью DCC₁D₁, прямой PM с плоскостью BCC₁B₁

3. Точки пересечения прямых AT и A₁D₁

4. Как располагаются прямые AD и BC; прямые AA₁ и CC₁, прямые АА₁ и ВС и прямые D₁C₁ и DB₁?

1. Ознакомление с новым материалом.

1. Ознакомление с новыми умениями через самостоятельное определение взаимного расположения прямых в пространстве.

Рассмотрим куб и отметим все варианты расположения прямых в пространстве. Для этого преподаватель заранее в ПО: «Живая геометрия» подготавливает макет куба. Студенты самостоятельно выбирают различные варианты расположения прямых:

- пересечение прямых

- параллельность прямых

-скрещивающиеся прямые.

После чего самостоятельно дают определения:

1. Прямые пресекаются, когда они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

2. Прямые параллельны, когда они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

3. Скрещивающиеся – прямые, которые не пересекаются и не параллельны.

Через ПО: «Геометрия» рассматривается все возможные случаи расположения прямых в пространстве. Данное ПО позволяет рассмотреть все возможные варианты с разных ракурсов. Т.е. можно вращать любую фигуру, что позволяет развить пространственное воображение студента и лучше освоить и понять материал.

После чего записывается вывод в виде графа:

1. Выполнение заданий, полученных студентами, как самостоятельное освоение задач дома.

Заранее студенты получили домашнее задание, которое они защищают как свой проект у доски.

Задача №2: Доказать признак параллельности прямых:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Задача №3:

Доказать, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

a c

B

B₁ b 

Доказательство:

аb через эти прямые проходит плоскость . Вопрос: почему? (по Т№3).

ca=B

cb=B₁, где  по аксиоме: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.  c 

все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в этой же плоскости.

1. Выполнение упражнений, используя ПО «Геометрия», для

освоения и закрепление полученных умений и навыков.

С помощью программного обеспечения: «Геометрия» решаем задачи:

Задача №4:

Пересекаются ли прямые? Рассмотрим чертеж. Вращая данный чертеж, делаем вывод, что прямые не пересекаются. Попробуем ответить на вопросы:

-как нужно переметить точку Р, чтоб прямые пересеклись? Возможно ли это?

- возможно ли переместить точку Р, чтоб прямые были параллельны? Объяснить, почему.

Убеждаемся, вращая тело, что точку Р переместить, чтоб прямые пересекались, можно, а чтоб прямые были параллельны невозможно.

Ответ: Невозможно прямым быть параллельными, т.к. прямые скрещивающиеся и лежат в разных плоскостях.

Задача №5:

Если ABCD и ABC'D' - параллелограммы, то доказать, что и CC'D'D - параллелограмм.

Решение:

Рассматриваем два случая:

1.параллелограммы лежат в одной плоскости.

2. параллелограммы не лежат в одной плоскости.

Доказательство основываем по теореме, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

С' В С

D' A D

C'D' AB (по определению параллелограмма) С'D'  CD

CD  AB (по определению параллелограмма) (по вышеуказанной

теореме)

С'D' CD (по определению параллелограмма) С'СDD' -

C'C  D'D параллелограмм

( по определению)

D C

А B

D' C'

C'D' AB (по определению параллелограмма) С'D'  CD

CD  AB (по определению параллелограмма) (по вышеуказанной

теореме)

С'D' CD (по определению параллелограмма) С'СDD' -

C'D' = CD (т.к. DC=AB; D'C=ABDC=D'C') параллелограмм

( по признаку параллелограмма)

Признак параллелограмма: если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.

1. Упражнение на исследование и решение задачи по изготовленному макету.

Студенту было дано задание изготовить макет, по которому будет решаться задача:

Задача №6:

На четырех попарно параллельных стержнях, никакие три из которых не принадлежат одной плоскости, закрепили нить в шести точках. Обозначить точки соприкасания нитей.

Решение:

После осмотра макета студенты приходят к выводу, что нити – это прямые, которые пересекаются, когда лежат в одной плоскости (по определению пересекающихся прямых). Рассматриваем каждую плоскость и оформляем задачу:

Пересекаются нити (1;2) и (4;5) т.к. только они лежат в одной плоскости.

1. Домашнее задание.

Концы отрезка отстоят от плоскости на расстояние 30 и 40 см. Рассмотреть всевозможные случаи расположения отрезка и плоскости.

1. Рефлексия.

Но один вопрос мучает меня вновь и вновь: «Да, если решение, по-видимому, достигает цели и кажется верным, то как можно придумать такое решение? Каким образом ты сам мог бы придумать или открыть подобные вещи?»

- Какие цели я ставила перед вами?

- Как вы думаете, мы их выполнили?

А если вы считаете, что мы все выполнили, то ответьте на вопросы:

1. Как могут располагаться прямые в пространстве?

2. Определение пересекающихся прямых? Как это выглядит на чертеже?

3. Сформулируйте определение параллельных прямых и покажите это на чертеже.

4. Сформулируйте понятие скрещивающихся прямых? Изобразим на чертеже.

5. Так о чем мы вели разговор? Тема урока?

Студенты отвечают и изображают чертеж.

И в конце записывается тема урока: «Взаимное расположение прямых в пространстве».

Желаю не смотреть на математику как на предмет, по которому ты должен получить столько-то зачетов и который ты постараешься забыть как можно быстрее после последнего экзамена.

Спасибо за урок!