Технологическая карта урока .Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Тема: Определение производной функции, её геометрический смысл

Дата: 03.03.16

Часов на изучение темы: 2

Тип урока: «Открытие» нового знания

В теме: первый урок

Цель урока:

Формирование способности учащихся к новому способу действия, расширение понятийной базы за счет введения понятия производной функции, её геометрического смысла, формирование умения находить производную функции в точке, составить алгоритм нахождения производной функции (по определению)

Задачи урока:

Образовательные

• Сформулировать определение производной функции;

• Ввести понятие геометрического смысла производной;

• Составить алгоритм нахождения производной функции (по определению)

• Научиться решать задачи по данной теме, используя полученные знания

Развивающие

Способствовать развитию общения как метода научного познания,

аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и

произвольного внимания

Воспитательные

Способствовать развитию творческой деятельности;

воспитывать умение принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству и самооценке

Новые термины и понятия:

Производная функции в точке, геометрический смысл

Планируемый результат:

Личностные УУД:

Метапредметные УУД:

формировать устойчивый познавательный интерес, необходимость приобретения новых знаний, умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли

Познавательные: формировать навыки нахождения производных элементарных функций по алгоритму, проанализировать и составить таблицу производных, применять полученные знания при решении задач

Регулятивные: самостоятельно сформулировать познавательную цель, строить свои действия в соответствии с ней, обнаруживать и исправлять ошибки, оценивать свои достижения

Коммуникативные: регулировать собственную деятельность посредством речевых действий, развивать умение слушать, грамотно отстаивать свою точку зрения

Организация пространства

Межпредметные связи

Формы работы

Ресурсы

Применение производной в физике, химии, экономике

индивидуальная,

фронтальная,

парная

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных. учреждений: базовый и профильный уровни /Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин/ М.: Просвещение 2011»

Раздаточный материал,

Компьютер,

Презентация

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный момент

(2 минуты)

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Включаются в деловой ритм урока.

(6 минут)

Актуализация опорных знаний и способов действий

Слайд-3

1. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Чему равны tgA, tgB?

Слайд-4

1. Чему равны tgA, tgB?Найдите градусную меру ˂А, ˂В. Вычислите tgα, если α=150˚

Слайд-5

1. На рисунке графики трёх функций. Какая из них быстрее растёт? Почему Вы так решили?

Слайд-6

1. Рассмотрим ещё одну задачу и сделаем вывод

Слайд-7(вывод)

Учитель направляет и поправляет.

Целеполагание и мотивация

(2 минуты)

Обеспечение мотивации учения, формулировка целей урока

Вспомним, что мы делали на предыдущем уроке? Мы ввели понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», находили отношение приращения функции к приращению аргумента, а также предел этого отношения при условии, что Δx.

Вернемся к выполненной работе и теме урока.

Что будем делать на уроке?

Проговаривает тему урока, цели урока.

Всё это позволит нам рассмотреть задачи, которые приведут к очень важному в математике понятию – понятию «производной».

Усвоение новых знаний и способов усвоения (11 минут)

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания изучаемой темы: «Определение производной функции, её геометрический смысл»

Предупреждает, что учащиеся должны в тетрадь краткие записи за учителем и со слайдов, на которых пометка «Конспект» . Слайд-8

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной: о скорости изменения функции и о скорости движения

Слайд-9

Задача 1. На слайде представлен график некоторой функции и касательная в точке. Оценим на сколько круто идет график вверх?

Слайд-10

Угол наклона-это угол между касательной и положительным направлением оси ОХ

Слайд-11(Геометрический смысл производной)-конспект, Слайд-12

Производная и есть тангенс угла наклона касательной в данной точке

А что такое производная? Какого её определение в математике?

Слайд-13 Задача 2. Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела.

Слайд-14(Средняя скорость)

Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение:

Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

Слайд-15(Мгновенная скорость)-конспект. В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.

Можно указать ещё много задач из физики, геометрии, для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.

Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.

Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.

Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.

Этот предел называется производной функции.

А что такое производная?

Слайд-16-конспект. Определение: Производной функции y = f(x) в данной точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда или

Слайд-17. Проанализируем определение производной и составим алгоритм её нахождения.

1. Рассмотрим два значения аргумента x² и ∆x, где ∆x -приращение аргумента.

2. Найдём приращение функции ∆f(x) = f( + ∆x) – f()

3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента

4. Вычислим предел этого отношения при ∆ x → 0

Слайд-17

С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции, т.е. получить таблицу производных, а также доказать правила вычисления производных, которыми в дальнейшем мы и будем пользоваться. Например, найти производную функции f(x) = x² +1 в точке x₀ = -2. Слайд-18-конспект

Ведет беседу, направляя и подсказывая. Записывает необходимое на доске. Выдаёт сформулированный алгоритм нахождения производной функции

Анализируют, сравнивают и делают выводы

Анализируют, формулируют алгоритм

Организация первичного закрепления

(14 минут)

Формирование навыка нахождения производной некоторых функций, используя алгоритм нахождения производной; составление таблицы производных;

выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков

Первый пример учитель рассматривает совместно с учащимися с оформлением решения на доске и образцом записи в тетради. Все следующие примеры решаются учащимися в парах (учитель – консультант), с последующей проверкой на мультимедийной презентации

Организует работу в парах, консультирует.

Пример 1(учитель с оформлением).

Найти производную функции y = C.

Решение: f) = C

1.Возьмём два значения аргумента и + Δ.

2.

3.

4..

Значит, = 0 или производная постоянной равна нулю.

Работа в парах:

Пример 2. Слайд-19

Найти производную функции y = x

Решение: f() =.

1.Возьмём два значения аргумент и + Δ.

2.

3.

4..

Значит, = 1.

Пример 3. Слайд-20

Найти производную функции y = x²

Решение: f() = ².

1.Возьмём два значения аргумента и + Δ.

2.

3.

4..

Значит, = 2x.

Пример 4. Слайд-21

Найти производную функции y =

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента и + Δ.

2.

3.

4..

Значит, = k.

Пример 5. Слайд-22

Найти производную функции y =

Решение: f(x) = .

1.Возьмём два значения аргумента и + Δ.

2.

3.

4..

Значит, = .

Итак, с помощью определения производной, можно найти производную любой функции.

Запишем найденные производные в таблицу и в дальнейшем будем ей пользоваться. Слайд - 23

Таблица производных

Выдаёт таблицы каждому

Самостоятельная работа

(4 минуты)

Обеспечение усвоения алгоритма нахождения производной

Итак, наш урок близится к концу. В своих рабочих тетрадях выполните задания на карточках:

Вариант 1

Найти производную функции f(x) = х + 3 в точке = 4

Вариант 2

Найти производную функции f(x) = 2х + 1 в точке = 1

Вариант 3

Найти производную функции f(x) = 4х + 2 в точке = -1

Вариант 4

Найти производную функции f(x) = х² - 1 в точке = 1

Вариант 5

Найти производную функции f(x) = х² + 3 в точке = -1

Вариант 6

Найти производную функции f(x) = 2х² + 1 в точке = 0

Вариант 7

Найти производную функции f(x) = -х² + 2 в точке = 1

Вариант 8

Найти производную функции f(x) = х³ в точке = -1

Решают, используя алгоритм нахождения производной

Рефлексия

(4 минуты)

Организовать рефлексию учащихся по их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими учениками в классе

Слайд-24

Закончи фразу:

• Наш сегодняшний урок был посвящен …

• На уроке я узнал, что …

• На уроке я научился …

• Производная функции в точке равна … касательной, проведенной к графику функции в данной точке

• Скорость изменения функции - это …

• Мне было трудно …

Используя знания, полученные на уроке, отвечают на вопросы

Подведение итогов урока

(2 минуты)

Обеспечить осознания учащимися своей учебной деятельности на уроке. Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся

Поставьте себе оценку за урок на полях тетради, итоговую оценку вы получите после проверки выполнения заданий на карточках

Подводит итог урока.

Проводят самооценку результатов своей деятельности