Системы уравнений как математическая модель реальных ситуаций

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Этапы решения задачи:

Первый этап. Составление математической модели. Второй этап. Работа с составленной моделью. Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Второй этап

Модель

Первый этап

Третий этап

Система

уравнений

Реальная ситуация

Реальная ситуация

Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1. Обозначить неизвестные элементы переменными.

2. Составить по условию задачи систему уравнений.

3. Определить метод решения системы уравнений.

4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Задача на движение

Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, выехали навстречу друг другу два поезда, через 10 часов они встретились. Если же первый поезд отправится на 4ч 20мин раньше, то встреча произойдёт через 8 часов после отправления второго поезда. Сколько километров в час проходит каждый поезд?

у 650 8 I   II 2 этап: «Работа с составленной моделью». I   II 3 этап. Ответ: скорость поездов - 30км/ч и 35 км/ч. " width="640"

1 этап: «Составление математической модели».

V (км/час)

I поезд

х

T (ч)

II поезд

10

у

S (км)

I поезд

650

х

II поезд

10

на 4ч20мин

у

650

8

I

II

2 этап: «Работа с составленной моделью».

I

II

3 этап.

Ответ: скорость поездов - 30км/ч и 35 км/ч.

Задача на движение по течению

v по теч. = ( х+у)км/ч

v пр.теч. = ( х-у)км/ч

30 км

Катер проплыл 30 км по течению реки за 1,5 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 2 ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения воды.

30 км

1 этап: «Составление математической модели».

S (км)

По течению

30

v (км/ч)

Против течения

t (ч)

х+у

30

х-у

х – собст. скорость

у – скорость течения

2 этап: «Работа с составленной моделью».

3 этап. Ответ: собственная скорость катера – 17,5км/ч и скорость течения реки – 2,5 км/ч.

Задача на работу

Бассейн наполняется двумя трубами при совместной работе за 1 час. Наполнение бассейна только через первую трубу длится вдвое дольше, чем через вторую трубу. За какой промежуток времени каждая труба отдельно может наполнить бассейн?

1 этап: «Составление математической модели».

производительность труда

А

1 труба

(объем работы)

1

2 труба

N

1

обе трубы

t

(производительность труда)

х=2у

(время работы)

1

у

время работы

2 этап: «Работа с составленной моделью».

3 этап. Ответ: вторая труба заполняет бассейн за 1,5 ч, а первая труба за 3ч.

0. х 1 = 12; х 2 = – 15 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч. " width="640"

Пусть скорость второго велосипедиста х км/ч, тогда скорость первого ( х + 3) км/ч.

ч время движения второго велосипедиста,

ч время движения первого велосипедиста.

По смыслу задачи х 0.

х 1 = 12; х 2 = – 15 не удовлетворяет смыслу задачи.

О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч.

№ 1

Пусть скорость первого поезда х км/ч, а скорость второго поезда у км/ч.

Решите систему

О т в е т: 80 км/ч; 60 км/ч.

№ 2

Пусть первое число равно х , второе число у .

Решим уравнение:

(46 – у ) 2 + у 2 = 1130

2116 – 92 у + у 2 + у 2 – 1130 = 0

2 у 2 – 92 у + 986 = 0

у 2 – 46 у + 493 = 0

D = 144; у 1 = 17; у 2 = 29.

Если у = 17, то х = 46 – 17 = 29;

если у = 29, то х = 46 – 29 = 17.

О т в е т: 29 и 17.

№ 3

Пусть х км/ч собственная скорость лодки, у км/ч скорость течения реки. Тогда ( х + у ) км/ч скорость по течению реки; ( х – у ) км/ч скорость лодки против течения реки.

О т в е т: 6 км/ч; 1 км/ч.

№ 4

Пусть первое натуральное число равно х , второе число равно у .

Решим уравнение:

у 2 + 24 у – 481 = 0

D = 2500; у 1 = 13; у 2 = – 37

у = – 37 не удовлетворяет условию задачи, что у – натуральное число.

Если у = 13, то х = 24 + 13 = 37.

О т в е т: 37 и 13.

№ 5

Пусть первое натуральное число равно х , второе – у . Составим и решим систему уравнений.

у 1 = 19; у 2 = 131 не удовлетворяет условию задачи (сумма двух натуральных чисел равна 50).

Если у = 19, то х = 50 – 19 = 31.

О т в е т: 31 и 19.

Изобразив схематически графики уравнений, определите, сколько решений имеет система уравнений:

Урок 2.

Цели:

упражнять учащихся в составлении систем уравнений как математических моделей реальных ситуаций при решении задач;

способствовать выработке навыков и умений при решении систем уравнений различными способами.

Решить уравнение:

2 х – 4 + 10 = х + 2 х 2 ;

2 х 2 – х – 6 = 0;

D = 49;

х 1 = – 1,5; х 2 = 2.

Проверка показывает, что х = 2 не является корнем.

О т в е т: – 1,5.

Двузначное число в 6 раз больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 34. Найдите исходное число.

Пусть х – число десятков двузначного числа,

у – число единиц двузначного числа. Тогда (10 х + у) данное двузначное число.

Подстановка у = 0,8 х ; тогда 10 х + 0,8 х – х · 0,8 х = 34;

0,8 х 2 – 10,8 х + 34 = 0 | : 0,2; 4 х 2 – 54 х + 170 = 0 | : 2;

2 х 2 – 27 х + 85 = 0;

D = 729 – 680 = 49;

х 1 = 5; х 2 = 8,5 не удовлетворяет условию задачи.

Если х = 5, то у = 0,8 х = 0,8 · 5 = 4. Число 54.

О т в е т: 54.

Решить задачу № 7.11 самостоятельно.

Пусть х числитель дроби, у знаменатель дроби, тогда исходная дробь.

Условию задачи удовлетворяет х = 5, тогда

у = 2 · 5 + 1 = 11.

Ответ:

Решить задачу № 7.12

периметр прямоугольника Р = ( а + b ) · 2 и теорема Пифагора с 2 = а 2 + b 2 .

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Тогда периметр ( х + у ) · 2 = 28;

по теореме Пифагора х 2 + у 2 = 10 2 = 100.

Решим уравнение:

196 – 28 у + у 2 + у 2 = 100;

2 у 2 – 28 у + 96 = 0;

у 2 – 14 у + 48 = 0;

у 1 = 6; у 2 = 8.

Если у = 6, то х = 14 – 6 = 8;

если у = 8, то х = 14 – 8 = 6.

О т в е т: 6 см и 8 см.

Решить задачу № 7.15

Пусть х и у – катеты прямоугольного треугольника

О т в е т: 84 см.

Решить задачу № 7.48

х м/с – скорость первого тела;

у м/с – скорость второго тела.

По теореме Пифагора

Сложим два уравнения почленно, получим – 48 х – 64 у = 800

О т в е т: 6 м/с; 8 м/с.

Урок 3.

Цели:

• научить учащихся решать задачи на совместную работу с помощью составления систем уравнений;
• закреплять знания и умения учащихся в решении систем уравнений различными методами;
• развивать логическое мышление учащихся.

Самостоятельная работа (15–20 мин).

В а р и а н т I

1. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м 2 обнесен изгородью, длина которой 230 м. Найдите длину и ширину участка.

2. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

В а р и а н т II

1. Разность двух числе равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

Решение задач на совместную работу. № 7.22

Примем объем работы (задания) за 1.

х ч. работает первая бригада одна;

у ч. в одиночку выполнит все задание вторая бригада;

часть работы, выполненная первой бригадой за 1 ч;

производительность второй бригады за 1 ч;

производительность обеих бригад за 1 ч.

8(12 + х ) + 8 х = х (12 + х )

96 + 8 х + 8 х = 12 х + х 2

х 2 – 4 х – 96 = 0

D = 400; х 1 = 12; х 2 = – 8 не удовлетворяет условию задачи.

Если х = 12, то у = 12 + 12 = 24.

О т в е т: 12 ч.

Решить задачу № 7.23 самостоятельно.

проверка

№ 7.26.

Примем площадь всего поля за 1. Пусть один тракторист половину поля вспахал за х ч, а второй половину поля вспахал за у ч, тогда оба они поле вспахали за 100 ч, значит, х + у = 100.

часть поля вспашет один тракторист отдельно за 1 ч;

часть поля вспашет отдельно второй тракторист за 1 ч;

производительность обоих трактористов

за 1 ч.

№ 7.47

Поскольку бассейн в итоге оказывается пустым, то это значит, что

Второе уравнение х – у = 2.

у 2 + 2 у – 48 = 0;

у 1 = – 8 не удовлетворяет условию задачи;

у 2 = 6. Если у = 6, то х = 6 + 2 = 8.

О т в е т: 8 ч; 6 ч.

У р о к 4

Цели:

закрепить у учащихся навыки и умения решения задач с помощью систем уравнений второй степени; развивать логическое мышление учащихся.

0. Если х = 18, то у = 2 · 18 – 16 = 20. В синем зале 18 рядов, в красном зале 20 рядов. О т в е т: 20 рядов; 18 рядов. " width="640"

Решение задач с помощью составления систем уравнений.

№ 7.19

Пусть х – число рядов в синем зале кинотеатра;

у – число мест в каждом ряду синего зала.

Тогда х + 2 число рядов в красном зале,

у – 4 число мест в каждом ряду красного зала.

х 1 = 18; х 2 = – 10 не удовлетворяет условию задачи х 0.

Если х = 18, то у = 2 · 18 – 16 = 20.

В синем зале 18 рядов, в красном зале 20 рядов.

О т в е т: 20 рядов; 18 рядов.

0. Если у = 4, то х = 20 × 4 + 20 = 100. Поступало в колледж 100 человек, а по математике сдавало экзамен 80 человек. О т в е т: 80 человек. " width="640"

Решить задачу № 7.20 самостоятельно

Пусть х – число учеников, собирающихся сдавать экзамены для поступления в колледж; у – число листов, предполагаемых для каждого ученика. Тогда х – 20 учеников сдавали экзамен по математике; у + 1 лист дали каждому ученику на экзамене по математике.

у 1 = 4;

у 2 = – 5 не удовлетворяет у 0.

Если у = 4, то

х = 20 × 4 + 20 = 100.

Поступало в колледж 100 человек, а по математике сдавало экзамен 80 человек.

О т в е т: 80 человек.

Решить задачу № 7.16

.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки; у км/ч – скорость течения реки. Тогда ( х + у ) км/ч – скорость лодки по течению реки; ( х – у ) км/ч – скорость лодки против течения реки

ч время движения лодки по течению реки;

ч время движения лодки против течения реки.

+

Всего затрачено 7 ч, тогда

= 7.

ч время движения лодки против течения реки;

ч турист затратил время на движение по течению реки.

=

Время движения одинаковое, тогда

= а ,

= b .

Обозначим

то есть х – у = 4;

=

то есть х + у = 10.

=

Решим систему уравнений

О т в е т: 3 км/ч.

Решить задачу № 7.42.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде,

у км/ч – скорость течения.

О т в е т: 24 км.

Решить графически систему уравнений

О т в е т: (4; 0); (0; – 4).

У р о к 5

Цели: способствовать выработке навыков и умений решать задачи и системы уравнений различными методами; развивать логическое мышление учащихся.

Ответить на вопросы:

а) Какие методы решения систем двух уравнений с двумя переменными вы знаете?

б) Назвать варианты при решении систем уравнений методом введения новых переменных.

в) Назвать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r .

г) Сформулировать теорему об уравнении окружности.

Решить задачу № 7.28.

Пусть х – число десятков двузначного числа,

у – число единиц.

Тогда исходное двузначное число равно 10 х + у .

О т в е т: 32.

0. Если у = 3, то х = 2 + 2 · 3 = 8. Исходное число 83. О т в е т: 83. " width="640"

Решить задачу № 7.32.

Пусть х – число десятков исходного числа,

у – число его единиц.

Исходное двузначное число равно 10 х + у .

Решим уравнение: 2 у + 2 у 2 – 6 – 6 у = 0, у 2 – 2 у – 3 = 0.

у 1 = 3, у 2 = – 1 не удовлетворяет у 0.

Если у = 3, то х = 2 + 2 · 3 = 8. Исходное число 83.

О т в е т: 83.

Решить № 7.34 самостоятельно.

Решить задачу № 7.43 на совместную работу

Объем всей работы примем за 1. Пусть первая наборщица сделала половину всей работы за х ч, а вторая остальную половину работы сделала за у часов.

Половина работы одной наборщицей сделана за 5 ч, значит, вся работа ею будет выполнена отдельно за 10 ч, а вторая наборщица в одиночку выполнит работу за 15 ч.

О т в е т: 10 ч; 15 ч.

Решить задачу 7.39

Пусть х км/ч – скорость первого поезда; тогда ( х + 40) км/ч – скорость второго поезда. 2 у км – расстояние между А и В.

ч.

Время 3 ч 45 мин =

О т в е т: 60 км/ч; 100 км/ч.

Источники материалов:

•   Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 1 : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2011;
• Алгебра. 9 класс : в 2 ч. Ч. 2 : задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович [и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – М. : Мнемозина, 2011.
• Алгебра. 9 класс : поурочные планы по учебнику А. Г. Мордковича / авт.-сост. Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. – Изд. 2-е, стереотип. – Волгоград: Учитель, 2008. – 255 с.