Решение олимпиадных задач для 8 классов

Ответы школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 8 классов

8.1. Какой цифрой оканчивается сумма 9²⁰⁰⁷ + 9²⁰⁰⁶ ? 

Ответ: 0
9²⁰⁰⁷ + 9²⁰⁰⁶ = 9²⁰⁰⁶( 9 + 1) = 9²⁰⁰⁶* 10. 

8.2. Найти значение выражения 2 + 3 ∙ + + ,

если известно, что + = 1.

Решение. 2 + 3 ∙ + + = ( + 2 + ) +

+ + = + ∙ + = +

∙ 1 + = 1 + 1 = 2

Ответ: 2.

8.3. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M

так, что ∠AMB = ∠AMD. Найдите эти углы, если AD = 2AB.

Решение. Т. к. ABCD – прямоугольник, то прямые BC|| AD по свойству. ∠AMB и ∠MAD накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC|| AD при секущей AM, то ∠ AMB =∠ MAD. Из ∠AMB =∠AMD и ∠ AMB = ∠ MAD следует ∠AMD = ∠MAD. Значит, треугольник ΔAMD – равнобедренный по признаку. Тогда, AD = DM. Т. к. ABCD – прямоугольник, то AB = CD. По условию AD = 2AB.Получаем в прямоугольном треугольнике ΔCMD : MD = 2CD.Следовательно, ∠CMD = . Т.к. ∠AMB + ∠AMD +∠DMC = и ∠AMB =∠AMD, ∠CMD = , то ∠AMB = ∠AMD = ( − ) ∶ =

Ответ: ∠AMB = ∠AMD =

8.4. Винни-Пух и Пятачок начинают бегать вокруг круглого пруда, находясь на диаметрально противоположных берегах. После 10 мин бега Пятачок в третий раз обогнал Винни-Пуха. Через сколько времени он обгонит Винни Пуха в четвертый раз?

Решение. За длину окружности пруда возьмем 1, скорости бегунов х и у . Получим систему: 10х-10у= 2,5, откуда х-у= 0,25. Искомое время 1/0,25 =4мин

Ответ: 4мин

8.5. Маша, помогая бабушке на даче, прополола три одинаковые грядки с клубникой. На первую и вторую грядки Маша потратила 58 минут, а на первую и третью – 48 минут. За какое время были прополоты все три грядки, если третью грядку Маша пропалывала с той же скоростью, как первую и вторую в среднем?

Ответ: 87 мин