Значение слова аликвота - (латин. aliquoties, «несколько раз; несколько частей») в матем.) любой из делителей целого числа, кроме его самого.
Известные также как египетские дроби, аликвотные дроби представляют собой сумму нескольких различных дробей типа 1/n. Говоря другими словами, в каждой дроби есть числитель, который равен (1) единице, а знаменатель будет натуральным числом.
Например: 1/2+1/3+1/16
Аликвотная дробь является положительным рациональным числом типа а/b; например, аликвотная дробь, представленная выше, можно написать в виде 43/48. Сумма такого вида использовалась античными математиками, чтобы записывать произвольные дроби, еще во времена Древнего Египта и до Средних веков. Несмотря на это в современной математике аликвотные дроби по сегодняшний день изучают в теории чисел и в истории возникновения математики, хотя вместо аликвотных дробей уже давно все используют обычные десятичные дроби. Первое упоминание об египетских (аликвотных) дробях было найдено на Математическом папирусе Ринда, который был написан Ахмесом во времена Второго переходного периода.
Аликвотные дроби также успешно использовали математики Древней Греции, после чего ними стал пользоваться весь мир, несмотря на то, что древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.
Немаловажную работу по исследованию аликвотных дробей провел математик Фибоначчи в ХIII веке в своем известном труде Liber Abaci.
В нынешней математике ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:
в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную
также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r>0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.
Основные операции над аликвотными дробями
Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.
Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Формула выглядит следующим образом: 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))
Примеры разложения дробей:
1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.
Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство: 1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)
1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3
½=1/(1*2)=1/1 -1/2
Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равна их произведению.
Вернемся к формуле и докажем это равенство: 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))
(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем: ( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.
Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.
Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:
1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????
Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:
½=1/(1*2)=1/1 -1/2
1/6=1/(2*3)=1/2-1/3
1/12=1/(3*4)=1/3-1/4
1/20=1/(4*5)=1/4-1/5 и т.д.
Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:
Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается:
1=1/2+1/2 ( формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:
½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;
Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:
1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;
На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42 => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.
Решение олимпиадных задач
Задача. Найди сумму
1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
И вычесть из нее сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09
Задача. Найти сумму ½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90= 1, b) 10/11, c) 4/5, d) 8/9, e) 9/10
1 369 688
3 
