Презентация Множества

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Основатель – Георг Кантор (немецкий математик)

«Множество есть многое, мыслимое как единое»

МНОЖЕСТВО

• Множество – это совокупность элементов, объединенных общим свойством .
• А, В, С – обозначение множества
• a, b, с – элементы множества
• а  А – элемент а принадлежит множеству А
• а  А – элемент а не принадлежит множеству А

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

• Перечисление элементов множества
• Характеристическое свойство
• Круги Эйлера (диаграммы Венна)

ПАРАДОКС РАССЕЛА

• Пусть К – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента .

Бертран Рассел

ПАРАДОКС БРАДОБРЕЯ

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Название операции

Пересечение множеств

Обозначение

A  B

Объединение множеств

Изображение кругами Эйлера

Определение

Разность множеств

А  В

А\В

Те и только те элементы, которые одновременно принадлежат А и В

Дополнение к множеству

Символическая запись

= A’

Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

A  B = {x|x  A и x  B}

Пример

А = {2, 5, 7, 9}

В = {3, 5, 8, 9, 12}

Те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В.

A  B={x|x  A или x  B}

А  В

Те и только те элементы, которые не принадлежат множеству А (т.е. дополняют его до универсального U )

А = {2, 5, 7, 9},

В = {3, 5, 8, 9, 12}.

А  В -?

A\B={x|x  A и x  B}

А = {2, 5, 7, 9}

В= {3, 5, 8, 9, 12} А\В - ?

={x|x  A} = U\A

  СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ

• Переместительный закон (коммуникативность) для объединения и пересечения:

А  В = В  А, A  B=B  A.

• Сочетательный закон (ассоциативность) для объединения и пересечения:

(А  В)  C= А  (В  C), (A  B)  C=A  (B  C).

• Распределительный закон (дистрибутивность) пересечения относительно объединения множеств:

(А  В)  C=(A  C)  (B  C).

• Распределительный закон объединения относительно пересечения множеств:

(А  В)  C=(A  C)  (B  C) .

• Законы поглощения:

А  А=А, A  А=А, А  (А  В) .

  СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ

• U =  ’ и  = U’ – универсальное и пустое множество являются дополнениями друг друга.
• Пусть А i все подмножества (А 1 , А 2 , … А n ) множества А, то

и

• X’’ = Х
• Множество А можно разбить на классы непересекающихся множеств А i , если:

• Объединение всех подмножеств совпадает с множеством А:
• Объединение всех подмножеств совпадает с множеством А:
• Объединение всех подмножеств совпадает с множеством А:

• Пересечение любых двух различных подмножеств пусто.
• Пересечение любых двух различных подмножеств пусто.

ЗАДАНИЯ

В

А

С

к

о

н

л

б

ы

ё

ч

ё

л

к

м

т

к

о

ЗАДАНИЯ