Презентация "Множества на кругах "Эйлера-Венна"

МНОЖЕСТВА

на кругах

Эйлера-Венна

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Елабужский колледж культуры и искусств»

преподаватель математики и информатики

Лопанова Любовь Александровна

2016 год

Понятие множества является одним из наиболее Общих и наиболее важных математических понятий.

Оно было введено в математику немецким ученым

Георгом кантором (1845-1918).

Следуя кантору множество можно определить так:

Множество – совокупность объектов,

обладающих определенным свойством,

объединенных в единое целое.

МНОЖЕСТВО

ГРУППА ПРЕДМЕТОВ, ОБЪЕДИНЕННЫХ

ОБЩИМ СВОЙСТВОМ

2, 4, 6, 8

Множество

четных однозначных чисел

Множество

геометрических фигур

ПРЕДМЕТ, ВХОДЯЩИЙ ВО МНОЖЕСТВО НАЗЫВАЕТСЯ ЭЛЕМЕНТОМ МНОЖЕСТВА

- элемент множества геометрических фигур

4

- элемент множества четных однозначных чисел

Если каждый элемент множества В является элементом множества А , то множество В называют подмножеством множества А

знак  называется включением (можно сравнить со знаком  )

A  B

A

A

B

Два способа записи множеств:

Первый способ: перечислительный

A={1; 2; 3; 4; 5}

Второй способ: описательный – множество выделяется из всевозможных других тем или иным свойством

A={Х/ - первые пять натуральных чисел}

А

В

Операции над множествами:

1. Объединение A  B =  х / х  А или х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

A

A

A

B

B

B

А  В

А  В

А  В=А

Диаграммы Эйлера–Венна

А

В

Операции над множествами:

2. Пересечение A  B =  х / х  А и х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

А

В

А

В

В

А  В= 

А  В

А  В=В

Диаграммы Эйлера–Венна

А

В

Операции над множествами:

3. Разность A \ B =  х / х  А и х  В 

множества

пересекаются

множества не пересекаются

одно множество является подмножеством другого множества A  B

А

А

А

В

В

В

А \ В

А \ В=А

А \ В

Диаграммы Эйлера–Венна

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор во всех странах изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер.

Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук.

Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Леонард Эйлер

(1707 - 1783)

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн — британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.

Джон Венн (1834 — 1923)

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Очевидное и невероятное

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов:

N-множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество вех действительных чисел.

5/6

-36

5

N

Z

R

Q

1

0

9

-0,25

-7

Круги ЭЙЛЕРА — геометрические схемы, с помощью которых можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

А В-?

Натуральные числа

А

Четные числа

Простые числа

2

В

А В-?

C

D

Система наук

на кругах Эйлера-венна

естественные

социальные

технические

гуманитарные

философия

Примеры кругов Эйлера-Венна

Игрушка

Пистолет

Заводная

игрушка

Кукла

Заводной

автомобиль

Перерисуй и раскрась

графические задачи:

Задача на числовые множества

Даны множества A={1; 3; 6; 8}, В={2; 4; 6; 8}.

Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В: AB, AB, AB, B ∖ A - ?

Решение:

Очевидно, что объединение двух данных множеств AB={1; 2; 3; 4; 6; 8}, их пересечение AB={6; 8}, а разности AB={1; 3} и ВА={2; 4}

Так эти множества можно представить на кругах.

А

В

2

6

3

1

8

4

Задача «Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение:

Изобразим эти множества

на кругах Эйлера .

11

20

35

диски

диски Земфиры

Максим

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

не купили диски

5

6

10

диски

диски Земфиры

Максим

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры

Задача «Занятия в кружках»

В классе 27 учеников. Из них 10 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 8 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение:

По рисунку (М) помещены все математики, а в (Б) – все биологи, те ребята, которые не ходят на кружки и помещены они в самый большой круг. Теперь посчитаем:

Внутри большого круга 27 ребят.

Внутри 2-х меньших 27-8=19 ребят.

Внутри М находятся 10 ребят.

Внутри Б находятся 19-10=9 биологов (не посещающих математический кружок)

Внутри МБ находятся 11-9=2 биологов увлекающиеся математикой.

М

МБ

Б

Ответ: 2 биологов посещают математический кружок

Задача «Шашки и шахматы»

В группе колледжа 19 студент. 11 человек умеют играть в шашки, 10 – в шахматы. 7 студентов умеют играть и в шахматы и в шашки. Дайте цифровые ответы

Играют только в шашки - ?

Играют только в шахматы - ?

Играют и в шашки, и шахматы – 7 чел.

Ни играют ни в шашки, ни в шахматы - ?

7

Проверь ответы:

Играют только в шашки – 4 чел.

Играют только в шахматы – 3 чел.

Играют и в шашки, и шахматы – 7 чел.

Не играют ни в шашки, ни в шахматы – 5 чел.

7

Задача «Знание языков»

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

французский

немецкий

английский

французский

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

немецкий

20

2

30

3

7

5

13

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2 .

английский

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.

Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.

Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.

Ответ: 20 человек

Задача «Студенты на занятиях»

В группе 11 студентов слушают преподавателя, 13 – играют на гаджетах и 7 студентов – спят на паре. Четверо слушают преподавателя и играют в гаджет, 3 – слушают и временами спят, 6 – играют в гаджет и иногда спят, а двое и слушают преподавателя и играют и спят. Сколько студентов в этой группе?

Решение:

манная

перловая

0

11

6

3

1

7

2

4

2

6

4

5

13

Ответ:

6+1+2+2+0+4+5=20 студентов

гречневая

Задача «Многодетная семья»

В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

Решение:

капуста

морковь

1

4

7

3

6

1

1

3

2

2

1

1

5

горох

Ответ: 10 человек

Задача «Студенты и музыка»

В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Решение:

классическая музыка

джаз

7

1

6

15

14

4

5

9

4

2

7

14

3

народная музыка

Ответ:

29-7-2-1-5-3-4-4=3 (человека)

– не любят никакую музыку

Задача «Домашние любимцы»

У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другие.

Угадайте, сколько у меня подруг? : Изобразим два круга, так как у нас два вида питом цев.

В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом - собак.

Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть.

В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих.

В оставшейся части "кошачьего" круга ставим цифру 4 (6 - 2 = 4).

В свободной части "собачьего" круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3).

А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Решение:

Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев.

В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом - собак.

Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть.

В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих.

В оставшейся части "кошачьего" круга ставим цифру 4 (6 - 2 = 4).

В свободной части "собачьего" круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3).

А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

С

К

2

3

4

Ответ: 9 подруг

Задача «Хобби»

Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу - 8 человек, спортивную школу - 12 человек, музыкальную и художественную школу - 3, художественную и спортивную школу - 2, музыкальную и спортивную школу - 2, все три школы посещает 1 человек.

Сколько учеников посещают только одну школу?

Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

Решение:

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ: 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают

Задача «Школьники на экскурсии»

Учащиеся 5 и 6 классов отправились на экскурсию. Мальчиков было 16, учащихся 6 класса – 24, пятиклассниц столько, сколько мальчиков из 6 класса. Сколько всего детей побывали на экскурсии?

Решение:

мальчики

5 класс

16

мальчики

девочки

6 класс

5 класс

девочки

6 класс

24

Ответ: 40 человек

Задача «Ковровое покрытие»

На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них -10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м². Найдите площадь участка пола:

а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром;

б)покрытого только первым ковром;

в)не покрытого коврами.

Решение:

2

1

5

10

Ответ:

2

3

а) 10м²;

б) 5 м²;

в) 24-10-5-1=8 м²

3

8

1

3

2

3

2

6

1

3

Задача «Туристы»

Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?

Решение:

немецкий

французский

75

83

х

Получим уравнение: 75+83-х=90

158-х=90

х=68

100-10=90

Ответ: 68 человек знали оба языка

Задача для самостоятельного решения:

1. Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад?

Ответ: 2 человека

30

Задача для самостоятельного решения:

2. В воскресенье 19 учеников класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и музей – трое, в цирке и музее был один человек. Сколько учеников в классе, если никто не успел посетить все три места, а трое вообще никуда не ходили?

Ответ: 29 человек

Задача для самостоятельного решения:

3. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом?

Ответ: 17 ребят, 11 спортсменов

Задача для самостоятельного решения:

4. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Ответ: 7 сотрудников

Придумайте задачи по картинкам

Использованные Интернет-ресурсы:

• http :// mat .1 september . ru   Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября»
• http :// www . math . ru Math.ru: Математика и образование
• http://festival.1september.ru/articles/635933 /
• https://znanija.com/task/3231925
• https:// yandex.ru/images/search?textstype=image&lr=43&noreask=1&parent-reqid=1483952074037160-1110803268472871449321762-sas1-3418&source=wiz