Показательные уравнения и неравенства.

Инструкционная карта № 14

Тақырыбы/ Тема: «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств».

1. Познакомить учащихся с методами решения простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств. Уметь применять эти методы при решении упражнений.

2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).

3. Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.

Теоретический материал:

 Основные методы и приемы решения показательных уравнений

Пример 1. 3^х2-х-2=81- Метод уравнивания показателей.

Решение:

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример 2. 4^х+1+4^х=320- Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=3204^х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙4³, тогда:4^х∙5=5∙4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4^х=4³

Приравняем показатели: х=3

Ответ: 3

Пример 3. 4^х - 3·2^х +2 = 0 - Метод замены переменных

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение: 2^2х - 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t).

Итак, пусть 2^х = t. Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t² - 3t+2 = 0

Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: t₁ = 2 ; t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁: t₁ = 2 = 2^х

Стало быть, 2^х = 2; х₁ = 1 Один корень нашли. Ищем второй, из t₂: t₂ = 1 = 2^х ; 2^х = 1

Гм... Слева 2^х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: 1 = 2⁰ 2^х = 2⁰ х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня: х₁ = 1 х₂ = 0 - Это ответ.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству .
Если 0 монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству 

Пример 4. Решим неравенство 

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х

Ответ: .

Практическая часть:

I Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 0,8; б) ; в) 3; г) 4.

1. Решите неравенства:

а) 2 .

3. Решите систему уравнений: .

II Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 3; б) 2; в) 2; г) 9.

1. Решите неравенства.

а) 51; б) 0,7^х.

3. Решите систему уравнений: .

III Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 9^-х=27; б) ; в) 5; г) 9.

1. Решите неравенства:

а) ; б) 48.

3. Решите систему уравнений: .

IV Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 8^-х=16; б) 10^2х=0,1; в) 3; г) 4.

1. Решите неравенства:

а) ^-0,5; б) 9

3. Решите систему уравнений: .

V Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 2^х+2^х-3=18; б) ; в) ; г) 8.

2.Решите неравенства:

а) 5; б) 3

3. Решите систему уравнений: .

Контрольные вопросы:

1. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям?

2. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

3. Что общего в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?

4. Перечислите основные требования, соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств?