Мир натуральных чисел

Введение

Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день: без чисел - ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Самые древние по происхождению числа натуральные. В начальной школе мы знакомимся с числами счета, на уроках математики в 5 классе мы изучаем эти числа, законы вычисления и свойства. Разнообразие чисел меня заинтересовало так, что я решила узнать, а есть ли другие виды натуральных чисел? Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные.

(СЛАЙД 2)

Гипотеза:

Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

(СЛАЙД 3)

Объект исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел.

Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Задачи:

1. Описать способы поиска простых чисел.

2. Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел.

Метод исследования – изучение теории, вычисление, обобщение.

В школе мы провели исследовании и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. 55 из 65 опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

Такие ли они «простые», эти простые числа?

(СЛАЙД4)

Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала», и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эрастосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным или методом отыскания простых чисел.

(СЛАЙД 5)

С «решетом Эратосфена» мы знакомились по учебнику. Рассмотрим несколько других интересных методов отыскания простых чисел. Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов.

Получим модель «решета» Эрастофена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Систему проведения прямых, вычеркивающих составные числа, понять легко. Все простые числа от числа 5 и дальше свили себе гнёздышки только в 2 столбиках: в 4 и 6.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы

воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

(СЛАЙД 6)

Совершенные и дружественные числа

ДРУ́ЖЕСТВЕННЫЕ ЧИ́СЛА, пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. 

Делителем натурального числа называется такое число, на которое число а делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1)Существует ли наибольшее совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" – совершенное. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа.

(СЛАЙД 7)

Экспериментальная работа по теме:

«Исследование совершенных и дружественных чисел»

І. Проверим, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

Найдём делители чисел 220 и 284.

Делители 220: 1;2;11;10;5;44;22;110;20;55;4.

Делители 284: 1;2;142;71;4.

Вычислим сумму делителей числа 220:

1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.

Вычислим сумму делителей числа 284:

1+2+142+71+4 = 220

Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

(СЛАЙД 8)

ІІ. Проверим, что каждое из чисел 6, 28, 496, 8128, 33550336, равно сумме всех его делителей, не считая самого числа.

1. Найдем делители числа 6: 1;2;3.

Вычислим сумму его делителей 1+2+3 = 6.

1. Найдем делители числа 28: 1;2;4;7;14.

Вычислим сумму его делителей 1+2+4+7+14 = 28.

Вывод: сумма всех делителей этих чисел, не считая самого числа, равна самому числу, значит, это есть совершенные числа.

Заключение.

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла: если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.

Я познакомилась с удивительными натуральными числами: дружественными и совершенными. Все они обязаны своими свойствами простым числам. Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

Эта работа вызвала у нас интерес, и мы надеемся, что она заинтересует и других учащихся.

Список литературы

1.Волина И. А. Праздник числа. М. 1991.

2. Депман И. Я. Мир чисел. М. 1979.

3.Депман И. Я. Рассказы о математике. М. 1982.

4. Депман И. Я. Из истории математики. М. 1985.

5. Заболотных Т. А. «Использование исторического материала в обучении математике», журнал Математика в школе,1989 г., № 6, стр.11 – 12.

6. Сухинина Т. К. «Беседа на уроках математики», журнал Начальная школа, 1983 г., № 2, стр.7 – 9.  

7.Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия» 1988г.