Научно-исследовательская работа по математике. Тема: «Способы умножения натуральных чисел».

МКОУ «Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по математике.

Тема: «Способы умножения

натуральных чисел».

Авторы: Серебрянская Анна и

Ляпунова Мария

6 «В» класс
Руководитель: Фоменко Ольга Михайловна

город Богучар

2016 год

Содержание.

1.Введение………………………………………………………………………..3

2.Основная часть. …………………………………………………………………

2.1Умножение на пальцах……………………………………………………….4

2.2 Китайский способ умножения (линейный)………………………………7

2.3 Умножение методом Ферроля………………………………………………8

2.4 Итальянский способ умножения (“Сеткой”)……………………………….9

2.5 Русский крестьянский способ умножения…………………………… …..10

3.Заключение…………………………………………………………………… 12

4.Литература………………………………………………………………………13

5 Приложение…………………………………………………………………… 14

Введение.

В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Мы решили выяснить, является ли данный способ умножения единственным или существуют другие.

Гипотеза – используемые в школьном курсе алгоритмы умножения натуральных чисел - не единственные.

Цель: рассмотреть нестандартные приёмы  умножения, не рассматриваемые в школьном курсе математики и показать, что их применение делает процесс вычисления интересным.

Задачи:

• изучить соответствующую литературу,

• описать нестандартные способы умножения,

• продемонстрировать преимущество и недостатки нестандартных способов умножения.

• сделать сравнительные выводы о достоинствах и недостатках указанных способов со школьными общепринятыми.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей.

Объект исследования:

Изучение способов умножения натуральных чисел

Метод исследования:

Теоретический (изучение и анализ), системно-поисковый, практический

Основная часть.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы, кроме умножения столбиком и хотели бы узнать новые способы, был проведен опрос (приложение 1). Он показал, что учащиеся нашего класса не знают других способов, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения натуральных чисел. В данной работе мы приведём несколько нестандартных способов умножения, возможно, они покажутся более простыми, и мы будем ими пользоваться.

1) Умножение на пальцах.

Не все хорошо помнят таблицу умножения. Иногда удобно знать способ умножения на пальцах.

• умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ 27.

• Умножение на 6,7 и 8

 Каждому пальцу на левой и на правой руке приписывается определённое число: мизинцу-6,безымянному-7,среднему-8,большому-10. В начале освоения метода эти числа можно нарисовать на кончиках пальцев. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе.

Пример 1: Умножим 7 на 8.

 Развернем руки ладонями к себе и коснемся безымянным пальцем (7) левой руки среднего пальца (8) правой

Обратим внимание на пальцы рук, оказавшиеся выше соприкоснувшихся пальцев 7 и 8. На левой руке выше 7 оказались три пальца (средний, указательный и большой), на правой выше 8 - два пальца (указательный и большой).
Будем называть эти пальцы (три на левой руке и два на правой) верхними. Остальные пальцы (мизинец и безымянный на левой руке и мизинец, безымянный и средний на правой) назовем нижними. В этом случае (7 х 8) получается 5 верхних пальцев и 5 нижних.
Теперь найдем произведение 7 х 8.Для этого:
1) умножим количество нижних пальцев на 10, получим 5 х 10 = 50;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках, получим 3 х 2 = 6;
3) сложим эти два числа. Получим окончательный ответ: 50 + 6 = 56.
       Мы получили, что 7 х 8 = 56.

Пример 2: Умножим 6 на 6.

 Развернем руки ладонями к себе и коснемся мизинцем (6) левой руки мизинца (6) . Теперь на левой и правой руках по 4 верхних пальца. Найдем произведение 6 х 6:
1) умножим количество нижних пальцев на 10: 2 х 10 = 20;
2) перемножим количества верхних пальцев на левой и правой руках: 4 х 4 = 16;
3) сложим эти два числа: 20 + 16 = 36.
       Мы получили, что 6 х 6 = 36.

Вывод: способ интересен и помогает запомнить таблицу умножения, но ограничен, так как позволяет умножать только однозначные числа, и не исключает знание таблицы умножения до 5.

2) Китайский способ умножения (линейный)

При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 12 на 13. В первом множителе 1 десяток и 2единицы, значит строим 1 параллельную прямую и поодаль 2 прямых.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть

12 х 13 = 156

Допустим, нам надо умножить 412 на 123.

412∙ 123=50676

Вывод: трудоемкость построения точек пересечения и дальнейших

вычислений, если множители будут содержать цифру 9 или 8

3) Умножение методом Ферроля.

Для получения единиц перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки.

Например: 13х12=156

а) 3х2=6, пишем 6

б) 1х2+3х1=5, пишем 5

в) 1х1=1, пишем 1.

Пример 2:Умножим 37 и 54

1)7х4=28,пишем 8 (2 запоминаем)

2)3х4+7х5=47,47+2=49,пишем 9(4 запоминаем )

3)3х5=15,15+4=19

37х54=1998

Вывод: Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.С большими цифрами трудоемко.

4) Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

Использование приема:
Например, умножим 4857 на 297.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 1442529

Вывод: Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру. Способ не исключает знание таблицы умножения.

5) Русский крестьянский способ умножения.
Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа такова: “На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число.

Вывод: исследование показало: этот способ можно использовать при умножении любых чисел, однако, трудность заключается в громоздкости вычислений, особенно для больших чисел.

Заключение.

Итак, в своей работе мы рассмотрели 5наиболее понравившихся нам нестандартных способов умножения и рассказали о них своим одноклассникам.

А затем провели опрос для определения наиболее понравившегося способа. Его результат отражен в диаграмме.

Результат: изучены нестандартные способы умножения, не применяемые в школьном курсе. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.

2. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин “За страницами учебника математики”.

3. Интернет-ресурсы.

Приложение 1

1 вопрос: Умеете ли вы умножать в столбик?

(да, нет, затрудняюсь ответить)

2 вопрос: Знаете ли вы другие способы умножения?

(да, нет, затрудняюсь ответить)

3 вопрос: Хотели бы вы узнать другие способы умножения?

(да, нет, затрудняюсь ответить)

МКОУ «Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме:

« Способы умножения натуральных чисел »

Авторы: Серебрянская Анна и Ляпунова Мария

6 «В» класс

Руководитель: Фоменко Ольга Михайловна

Цель: рассмотреть нестандартные приёмы  умножения, не рассматриваемые в школьном курсе математики и показать, что их применение делает процесс вычисления интересным.

Гипотеза  –

используемые алгоритмы умножения натуральных чисел - не единственные .

Задачи :

• изучить соответствующую литературу,
• описать нестандартные способы умножения,
• продемонстрировать преимущество и недостатки нестандартных способов умножения.
• сделать сравнительные выводы о достоинствах и недостатках указанных способов со школьными общепринятыми.

Умножение на пальцах

на 9

9 ∙ 3=27

9 ∙5=45

Умножение на пальцах

на 6,7 и 8

7 ∙8=56

6 ∙6=36

Вывод: способ интересен и помогает запомнить таблицу умножения, но ограничен, так как позволяет умножать только однозначные числа, и не исключает знание таблицы умножения до 5.

Китайский способ умножения

• Пример: умножим числа 12 и 13

12 ∙ 13 = 156

1

6

Вывод: Умножая числа таким способом вовсе не обязательно знать таблицу умножения.

5

Китайский способ умножения

Пример: умножим 412 и 123

412∙ 123=50676

4

6

9

+1

Единственный минус данного способа в том, что если в числе есть цифры больше 5, то решение выглядит громоздким и можно запутаться.

7

16

+1

Умножение методом Ферроля.

Пример 1:

13х12=156

а)3х2=6, пишем 6

б) 1х2+3х1=5, пишем 5

в) 1х1=1, пишем 1.

Пример 2:Умножим 37 и 54

1)7х4=28,пишем 8 (2 запоминаем)

2)3х4+7х5=47,47+2=49,пишем 9(4 запоминаем )

3)3х5=15,15+4=19

37х54=1998

Вывод: Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

С большими цифрами трудоемко.

Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

4

4

8

8

5

5

7

7

2

2

9

9

7

7

1

1

0

1

1

4

0

6

8

3

4

7

6

4

2

3

5

6

4

5

3

2

8

4

6

5

9

9

2

2

5

Вывод : Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру. Способ не исключает знание таблицы умножения.

Русский крестьянский способ умножения .

27·64

27

64

54

32

108

16

216

8

432

4

864

2

1728

1

47·37

47

37=36 +1

94

18

188

9=8 +1

376

4

752

2

1504

1

1504 +47+188 =1739

Вывод: исследование показало: этот способ можно использовать при умножении любых чисел, однако, трудность заключается в громоздкости вычислений, особенно для больших чисел.Зато он не требует знания таблицы умножения .Достаточно только уметь умножать и делить на два.