СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Исследование ряда натуральных чисел: необычное в обычных числах

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

 

КГУ «Глубоковский технический колледж»

Научно – исследовательский проект

Тема:

Исследование ряда натуральных чисел:

 необычное в обычных числах

 

 

 

Выполнила: Ясюкевич Диана студентка 1 курса

 

Научный руководитель: Богаева Наталья Владимировна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

Введение…………………………………………………………………………………  3

Глава 1. Что есть число                                                                                                     

1.1.  Время «просвещения»……………………………………………………………….4

1.2. Пифагор Самосский…………………………………………………………………  6

Глава 2. А какие бывают числа?

2.1.Простые числа...………………………………………………….................................8

2.2.Числа-близнецы ……………………………………………………………………… 9

2.3. Фигурные числа ………………………………………………………………………9

2.4 Многоугольные числа. ……………………………………………………………… 11

2.5. Пирамидальные и кубические числа ……………………………………………… 12

2.6. Дружественные числа ……………………………………………………………… 13

2.7. Совершенные числа. …………………………………………………………………14

2.8 Компанейские числа. …………………………………………………………………16

2.9.Репьюнты, Обращённые числа и репьюниты……………………………………… 16

Глава 3. Время исследования

3.1 Свойство разности исходного и обращенного чисел……………………………… 17

3.2. Следствие……………………………………………………………………………   17

3.3. Свойство разности числа и суммы составляющих его цифр………………………18

Глава 4. Числовые суеверия и мистические представления чисел

4.1. Число зверя…………………………………………………………………………… 19

4.2. Число на гробнице…………………………………………………………………… 20

4.3. Число Шехерезады…………………………………………………………………… 20

Глава 5. Жизнь нуля – цифры и числа в стихах

Заключение................................................................................................................ ............24

Список литературы………………………………………………………………………....25

Приложение…………………………………………………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               

 

 

 

 

 

                                             Введение

 

      Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день; без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения? Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют. А еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы. 

      Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о числах. Ведь мир чисел очень загадочен и интересен. Эта тема является актуальной, потому что числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни, попробовать заглянуть в этот загадочный мир, который мне интересен. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.  

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

"Самые древние по происхождению числа – натуральные. "Ручейки" натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особых специальных чисел", так писал о числах Б.А.Кордемский в своей книге "Удивительный мир чисел".

Предлагаемая работа является результатом поиска удивительных и необычных чисел, проведенного по различным источникам.

 Объект нашего исследования – натуральные числа.

   

Предмет исследования – свойства этих чисел.

  

Цель исследования: Познакомиться с удивительными свойствами чисел и установить роль простых чисел в изменении их свойств, попробовать открыть самостоятельно что-то новое, сделать первый шаг в раскрытии тайн загадочного мира чисел.

 

Поставленная мною цель требует решения следующих задач:

Задачи исследования:

  1. Найти и изучить информацию, необходимую для написания работы;
  2. Ознакомиться со справочными материалами по данной теме;
  3. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел.
  4. Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.
  5. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.
  6. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.
  7. Объяснить новое для меня свойство разложения на множители разности между задуманным и обращенным ему числом.

Основными методами исследования видов чисел являются изучение и обработка полученной информации, систематизация данных.

Методы исследования – теоретический, практический.

 

                                                                                   3

                                                     Глава 1. Что есть число.

                               1.1.  Время «просвещения».

 

         Первобытные люди прожили много лет без всяких знаний о числах и цифрах. Эти слова казались им чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

      Но постепенно росли знания, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.

      Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.

    1,2,3,4,5… Не думайте, что вы уже все знаете о числах.  Наука о числах вместилась бы, разве что, в многотомье больших книг. Много нового и интересного можно найти в магических текстах, в старинных рукописях, которые до сих пор считаются невероятными: греческий математик Архимед доказывал, что числовой ряд можно продолжить как угодно далеко, что он бесконечен. Наши замечательные ученые прошлых лет помогли нам не только отшлифовать привычные аргументы («математика ум в порядок приводит», «книга природы написана на языке математики»), но и  найти убедительные доводы в необходимости изучения математики. Идут годы, наука о числах сверкает новыми гранями.

      Числа – это ключ к пониманию человеческого поведения, один из простых методов для изучения и тренировки интуитивных дарований человека и для достижения глубин человеческой личности. Изучение символики чисел помогает определить индивидуальность человека, его силу и талант, препятствия, которые он встретит на жизненном пути, методы их преодоления.

    Числа для каждого из нас обладают определенными потребительскими свойствами. Используя числа, мы ежедневно, ежечасно, используем их для количественной оценки окружающих нас явлений и процессов.

 

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные количества

                                                                                    4

для него оставались неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи,

добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания было число "семь".

О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.

Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков – мириада), равное 10 000, а запределом – "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое "большое число" или "большой счет").

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в "исчислении песчинок" - до числа 10, возведенного в степень 8Ч1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.

    И, пожалуй, только один человек – величайший ученый древности – Пифагор, дал людям учение о том, что числа имеют более сокровенный смысл. Пифагор учил, «что все есть число».

Пифагор.… Это имя известно каждому из нас. И все же…Что означает  это имя для людей? Что мы знаем о Пифагоре из школьных учебников? Что вообще мы знаем о тех, которых по праву называют Учителями – родоначальниками современной науки? До обидного мало.

     Числа пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть математика объявляется философией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                   5

                                                     1.2. Пифагор Самосский

 

    Изучая свойства чисел нельзя не упомянуть о Пифагоре Самосском, сыгравшем  огромную роль в учении о числах.

    Пифагор Самосский - древнегреческий философ, математик, астроном. Основатель пифагорейской школы в Кротоне. Он считался одним из  самых образованных людей своего времени.

    Ещё в детстве будущий математик обнаружил большие способности к наукам. Тренируя память, он учил наизусть «Илиаду» и «Одиссею» Гомера.

    Его самым первым учителем был философ Гермодамас, который не только познакомил юного Пифагора с основами живописи и музыки, но и пробудил в нём любопытство к тайнам природы. Пифагор на всю жизнь запомнил его слова о том,  что «чувствования происходят от природы, да будет она первым и главным предметом твоего учения».

    Позже ему давал уроки философ Ферекид, а затем Фалес Милетский.

    Восьмидесятилетний старец Фалес, основатель милетской школы натурфилософов и естествоиспытателей, оценив способности Пифагора,  посоветовал ему отправиться в Египет, чтобы продолжить обучение. Но сделать это было нелегко. Греков не очень-то жаловали в Египте. Кроме того, для посещения Египта требовалось получить высочайшее разрешение Поликрата – властителя Самоса.

    Пифагор знал, что Поликрат не поощряет подобные поездки, но желание попасть в Египет было настолько велико, что он дерзнул  тайно покинуть остров. Поликрат, узнав о дерзком поступке самоуверенного юноши, был крайне рассержен. Однако судьба благоволила Пифагору, и даже грозный тиран спустя какое-то время смягчился. Так что молодой учёный явился к фараону Амазису не с пустыми руками, а с рекомендательным письмом от своего правителя.

  Египет строго оберегал мудрость веков. Мемфисские жрецы, посвящённые в тайны природы и мироздания, свято хранили эти знания. Возвышенные истины скрывались в особом языке ритуалов, совершавшихся в недоступных тайных помещениях величественных храмов».  

    И только посвящённый мог правильно истолковать слова, жесты и действия участников этих секретных обрядов. Сведения об устройстве  мироздания запечатлевались на папирусных свитках, высекались в виде символов на стенах и колоннах храмов. Эмблемы, статуи, всевозможные   ритуальные предметы, убранство помещений, одежда служителей культа –   всё имело свой тайный смысл. И Пифагору нужно было пройти определённые испытания, принять сан жреца, чтобы быть допущенным к постижению этих истин.

    Считая греков непостоянными и легкомысленными, жрецы были уверены, что новоявленный ученик не выдержит сложных, ритуалов и отступит, но были изумлены терпением и мужеством, с которыми Пифагор в течение двадцати двух лет работал над собой, готовясь к посвящению. Строгость дисциплины в египетских храмах лишь закалила его характер. Он понял, что тренированная воля даёт человеку невиданную возможность влиять не только на собственные тело и душу, но и воздействовать на других людей и даже обстоятельства. 

Он глубоко проникся мудрой заповедью своих мемфисских наставников: «Наука чисел и искусство воли – вот два магических ключа. Они открывают все двери Вселенной».

Во время обучения в Египте особенно привлекла Пифагора священная математика. Эта наука буквально покорила его. Многие её положения легли затем в созданную им теорию чисел.

    Оказавшись в Кротоне, Пифагор создаёт собственную школу, названную затем Пифагорейским

 

                                                                                    6

союзом, или орденом. Он собирает небольшую группу преданных учеников, открывает им тайные знания, почерпнутые во время долгих странствий. Они изучают основы математики, музыки и астрономии. Эти дисциплины Пифагор считал «треугольным основанием» для всех искусств и наук. 

    Прежде чем остаться в школе Пифагора, и приобщиться к сокровенным наукам, новичку необходимо было пройти обряд посвящения. Этот обряд был не столь жесток, как в Египте, но также требовал немалой выносливости. Пребывание в ночном мраке пещер, где каждый шорох заставлял оглядываться, долгое напряжённое одиночество в тесной келье, строгий пост, прочие испытания души и тела – это было ещё не все. Не менее труден был поиск ответов на коварные вопросы. Хотя бы на такой: «Что означает треугольник, вписанный в круг?» Всё это оказывалось по плечу далеко не каждому.

    Но даже для тех, кто прошёл первую ступень посвящения, испытания на этом не заканчиваются. Впереди самое сложное испытание – обет молчания в течение пяти лет, чтобы воспитать в себе необходимую сосредоточенность.

    Но и в последующие пять лет ученики ещё были недостойны видеть учителя, они лишь слушали его речи, доносившиеся из-за плотных занавесей. И только  после этих долгих десяти лет Пифагор представал перед его слушателями, и в оставшиеся пять лет они уже могли вести с ним диалоги.

    Догадывался ли проницательный Пифагор, что один из тех, кто не одолел испытаний при вступлении в его школу, затаит к нему ненависть и будет вынашивать план мести? А затем и осуществит его, совершив поджог и погубив тридцать восемь пифагорейцев и самого учёного? Трудно сказать. Сочувствуя людям в их слабостях, он, тем не менее, как учитель не мог поступаться своими принципами, и даже в целях безопасности делать для кого-то исключения

    Матерью всех  математических наук Пифагор считал арифметику. Он  доказал, что геометрия, музыка и астрономия  зависят от неё, а она от них – нет. Исчезни геометрия – арифметика останется, но попробуйте вообразить геометрию без арифметики! Или астрономию без арифметики. Так что во всех точных науках – арифметика первична.

   Пифагор называл своих учеников «математиками», поскольку огромное значение уделял науке чисел. Эти знания наполняли ученика особой силой и в то же время повышали его ответственность за их использование. Получалось, что материальный мир от микроскопической пылинки до гигантской скалы пронизан числами. Огромная Вселенная с её мириадами звёзд держится на числах. Числам подчиняется строение человеческого тела, поскольку, по мнению пифагорейцев, все тела состоят из мельчайших частиц, которые, в свою очередь, в различных сочетаниях соответствуют известным геометрическим фигурам. 

    Посредством чисел Пифагор даже пытался объяснить свойства того или иного человеческого характера. «Совершенные числа – прекрасные образцы добродетелей»,  – так записано в «Теоретической арифметике». Таким образом, пифагорейцы в своих философских размышлениях пришли к тому, что гармония и разумность окружающего мира могут быть сведены к отношениям определённых цифр, а через них – к геометрическим формам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                    7

                                                             Глава 2. А какие бывают числа?

 

2.1 Простые числа.

 

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Простых чисел бесконечное множество.

Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей: 24= 2∙2∙2∙3;  18=2∙3∙3;  140=2∙2∙5∙7  и т. д. Следовательно, из простых чисел строятся составные.

А Можно ли узнать сколько всего простых чисел? Ещё Греческий геометр Евклид в  своей книге «Начала» утверждал следующее: самого большого простого числа не существует.

    Т.к. простые числа играют важную  роль  в изучении  всех  остальных чисел, надо было  составить их список. Конечно, нельзя  было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Это был  удивительно  разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло  в науку именно в связи с придуманным или  методом отыскания простых чисел.

    Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Живший в 17 веке

                                                                                   8

во Франции математик Пьер Ферма думал, что он нашел такую формулу: р=2+1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537. Но позднее обнаружилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им самим.

 Еще одна из формул p = n2 - n+41. Для некоторых чисел эта формула верна, но не при n=41.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах.

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.            

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, но безуспешно

2.2 Числа – близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.

В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно.

2.3  Фигурные числа

Но как числа могут быть фигурными, например треугольными? Оказалось – просто и наглядно.Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все

                                                                                     9

четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

   Каждое число в представлении пифагорейцев имело свой характер и свои особые свойства. Так, например, нечётные числа считались сильнее чётных, поскольку чётные делились пополам без остатка, а нечётные при таком делении всегда оставляли «про запас» единицу.

    Двойка воспринималась как женское число, а тройка – как мужское. Символом супружества была пятёрка, а дружбу осеняло число восемь. Число четыре было для них символом гармонии и здоровья, хранило ключ к соразмерности, поскольку включало в себя первые четыре числа. Позже оно стало символизировать четыре материальных элемента: землю, воздух, огонь и воду. Девятка заведовала постоянством, это объясняли тем, например, что все кратные ей числа дают сумму цифр, равную девяти.

Шестёрка – символически напоминала о сотворении мира и считалась олицетворением совершенства. Также она являлась символом воли и неутомимости.

Семёрке приписывались удача, счастливый случай, пророческие сновидения, покровительство. И так далее.

    В школе Пифагора учение о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли из костяшек или камешков различные фигуры, изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры.

Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (еще раньше вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые возможно представить с помощью геометрических фигур, получили в дальнейшем название фигурных. Фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и у

 

                                                                                    10

других греческих ученых: Эратосфена (3-2 в. до н.э.), Никомаха (1-2 в.), Диофанта (3 в.) и других. Фигурными числами занимались также индийские математики. Простейшими из фигурных чисел являются треугольные числа: 1;3;6;10;15;21;28;36;…

                                                                                   

Общее выражение этих чисел п(п+1)/2, п=1,2,…

 

            

                   Квадратными называются числа ряда:1;4;9;16;25;36;…т.е. квадраты натуральных чисел: 1,2,3,…Таким образом  пятое  число в ряду квадратных чисел есть п², п=1,2,…

Один из видных древнегреческих математиков- Диофант, живший в 3 в.н.э., нашел формулу, связывающую треугольные числа с квадратными.

Если  обозначить любое треугольное число буквой т, то 8т+1 будет некоторым квадратным числом к. Например, умножая треугольное число 6 на 8 и складывая произведение с 1 , получаем 49, являющееся квадратным.

 

     

 

 

2.4.Многоугольные числа

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

    Пятиугольные числа  можно представить как п(3п-1)/2, п=1,2,…Вообще, к-угольное число имеет общий вид: 0,5п((п-1)(к-2)+2), п=1,2,…; к=3;4;…

Если к=3, число называется треугольным. Если к=4, то число – четырехугольное. Если к=5, то чис

Просмотр содержимого документа
«Исследование ряда натуральных чисел: необычное в обычных числах»

Исследование ряда натуральных чисел: необычное в обычных числах  Выполнила: Ясюкевич Диана Студентка 1 курса Руководитель: Богаева Н.В.  учитель математики

Исследование ряда натуральных чисел: необычное в обычных числах

Выполнила: Ясюкевич Диана

Студентка 1 курса

Руководитель: Богаева Н.В.

учитель математики

Гипотеза исследования:   Ряд натуральных чисел содержит числа, обладающие необычными, удивительными свойствами, особенностями, закономерностями .

Гипотеза исследования:

Ряд натуральных чисел содержит числа, обладающие необычными, удивительными свойствами, особенностями, закономерностями .

Цель работы:  Выявление чисел, обладающих необычными свойствами, закономерностями и особенностями.

Цель работы:

Выявление чисел, обладающих необычными свойствами, закономерностями и особенностями.

Задачи: Выделить интересные виды натуральных чисел: Установить ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах. Установить ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах. Выразить фигурное число в виде конкретного предмета. Выразить фигурное число в виде конкретного предмета.

Задачи:

  • Выделить интересные виды натуральных чисел:
  • Установить ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.
  • Установить ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.
  • Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.
  • Выразить фигурное число в виде конкретного предмета.
  • Выразить фигурное число в виде конкретного предмета.
 Введение     Мир чисел очень загадочен и интересен. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют. А еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.  Меня заинтересовала данная тема. Эта тема является актуальной, потому что числа очень важны в нашем мире. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В ходе работы у меня возникла идея выразить фигурное число в виде реального предмета с конкретным практическим применением.

Введение

Мир чисел очень загадочен и интересен.

Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют. А еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Меня заинтересовала данная тема. Эта тема является актуальной, потому что числа очень важны в нашем мире. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В ходе работы у меня возникла идея выразить фигурное число в виде реального предмета с конкретным практическим применением.

A какие бывают числа ?

A какие бывают числа ?

Виды фигурных  чисел Линейные  числа Плоские  числа Телесные  числа Многоугольные  числа Треугольные числа Квадратные  числа Пятиугольные числа Шестиугольные числа

Виды фигурных

чисел

Линейные

числа

Плоские

числа

Телесные

числа

Многоугольные

числа

Треугольные

числа

Квадратные

числа

Пятиугольные

числа

Шестиугольные

числа

 Линейные числа  Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):

Линейные числа

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):

 

 

  Плоские числа Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):  6 = 2 • 3

Плоские числа

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

6 = 2 • 3

Телесные числа    Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):    8 = 2• 2 • 2

Телесные числа

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):

8 = 2• 2 • 2

 Многоугольные  числа

Многоугольные

числа

6  Треугольные числа Треугольное число – это число кружков, которые могут быть  расставлены в форме равностороннего треугольника. Последовательность Треугольных чисел начинается так 0, 1, 3, 6, 10,  15, 21, 28, 36, 45, 55…

6

  • Треугольные числа

Треугольное число – это

число кружков, которые могут быть

расставлены в форме

равностороннего треугольника.

Последовательность

Треугольных чисел начинается

так 0, 1, 3, 6, 10,

15, 21, 28, 36, 45, 55…

Квадратные числа   Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n 2 ,...) выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.   4 9 16

Квадратные числа

Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n 2 ,...) выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.

4 9 16

Пятиугольные числа   1, 5, 12 ,22, 35, 51, 70,  92, 117,…, 1 /2n(3n-1 )

Пятиугольные числа

1, 5, 12 ,22, 35, 51, 70,

92, 117,…, 1 /2n(3n-1 )

Шестиугольные числа

Шестиугольные числа

Пространственные фигурные числа: Пирамидальные числа  возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались.  1 , 1+3= 4 , 1+3+6= 10 , 1+3+6+10= 20 , ...

Пространственные фигурные числа: Пирамидальные числа

возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались.

1 , 1+3= 4 , 1+3+6= 10 , 1+3+6+10= 20 , ...

Пространственные фигурные числа:  Кубические числа  возникающие при складывании кубиков. 1 , 2·2·2= 8 , 3·3·3= 27 , 4·4·4= 64 , 5·5·5= 125...

Пространственные фигурные числа: Кубические числа

возникающие при складывании кубиков.

1 , 2·2·2= 8 , 3·3·3= 27 , 4·4·4= 64 , 5·5·5= 125...

Дружественные числа Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви.

Дружественные числа

  • Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви.
Совершенные числа Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). – Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. – Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53… – Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Совершенные числа

  • Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).
  • Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
  • Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…
  • Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Компанейские числа   Компанейскими называется такая группа из n чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено.

Компанейские числа

  • Компанейскими называется такая группа из n чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д.
  • Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено.
Репьюниты, обращённые числа и палиндромы Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц.  R 1 =1, R 2 =11, R 3 =111, R 4 =1111… Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 1234 обращенное 4321 .  Палиндромическое число – число равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д

Репьюниты, обращённые числа и палиндромы

  • Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц.

R 1 =1, R 2 =11, R 3 =111, R 4 =1111…

  • Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 1234 обращенное 4321 .

  • Палиндромическое число – число равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д
Числа – близнецы Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название

Числа – близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.

 Числовые суеверия и мистические представления чисел

Числовые суеверия и мистические представления чисел

Число зверя 666 Число зверя 666 — число Смита,  сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей:  2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18. 666 является суммой квадратов первых семи простых чисел. 666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр 666 можно записать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и одним в убывающем

Число зверя 666

  • Число зверя 666 — число Смита,

сумма его цифр равна сумме

  • цифр его простых сомножителей:

2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.

  • 666 является суммой квадратов первых семи простых чисел.
  • 666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр
  • 666 можно записать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и одним в убывающем

 Число Шахиризады  Число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок

Число Шахиризады

Число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок "Тысяча и одна ночь". С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств:

  • Самое маленькое натуральное четырёхзначное

число, которое можно представить в виде суммы

кубов двух натуральных чисел:1001=103+13

  • число 1001 состоит из 77 злополучных

чертовых дюжин (1001=13· 77)

  • или из 91 числа 11, или из 143 семёрок;
  • далее, если будем считать, что год
  • равняется 52 неделям, то 1001 - количество

ночей в течение 1+ 1+ + года или по-другому: 1001= 52*7 +26 . 7+13*7

Число на гробнице    В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520 . Трудно точно сказать, за что выпала  такая честь на долю этого числа.  Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения  целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 .    

Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное

иероглифами число 2520 .

Трудно точно сказать, за что выпала

такая честь на долю этого числа.

Может быть, за то, что оно без

остатка делится на все без исключения

целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 .

 

 Жизнь нуля – цифры и числа в стихах.   Бывают веселые и грустные цифровые стихи, стихи классиков в числах, считалки и так далее.  

Жизнь нуля – цифры и числа в стихах.

  • Бывают веселые и грустные цифровые стихи, стихи классиков в числах, считалки и так далее.  
Мои исследования: я обнаружила, что разность исходного и обращённого числа всегда будет равняться числу кратному 9. Например:  1) 29 – 92 = - 63 -63: 9 = -7 2) 946743 – 347649 = 599094 599094: 9 = 66566 3) 745 – 547= 198 198: 9 = 22  Это можно доказать: Х * 100 + У * 10 + Z – Z * 100 – У * 10 – Х = 99 Х - 99 Z = 9 *(11 Х –11 У)

Мои исследования:

я обнаружила, что разность исходного и обращённого числа всегда будет равняться числу кратному 9. Например: 

1) 29 – 92 = - 63 -63: 9 = -7

2) 946743 – 347649 = 599094 599094: 9 = 66566

3) 745 – 547= 198 198: 9 = 22 

Это можно доказать:

Х * 100 + У * 10 + Z Z * 100 – У * 10 – Х = 99 Х - 99 Z = 9 *(11 Х –11 У)

А позднее обнаружила еще одно свойство: задав любое число, можно, не делая долгих вычислений, составить произведение двух множителей (один из которых 9) из чисел, которое представляет собой разность между заданным числом и ему обращенным. Например, возьмем число 5743. Ему обращенное 3475. Разность данного числа и ему обращенного представляет произведение чисел 9 · 252 .

А позднее обнаружила еще одно свойство: задав любое число, можно, не делая долгих вычислений, составить произведение двух множителей (один из которых 9) из чисел, которое представляет собой разность между заданным числом и ему обращенным.

Например, возьмем число 5743. Ему обращенное 3475. Разность данного числа и ему обращенного представляет произведение чисел 9 · 252 .

  И можно отметить еще одно свойство: Если из данного числа вычесть составляющие его цифры, то разность будет всегда представлять число, кратное 9.  Например: 375 – 3 – 7 – 5 = 360; 360: 9 = 40.  Это тоже можно объяснить: Для двухзначного числа: Х * 10 + У – Х – У = 9 Х Для трехзначного числа: Х * 100 + У * 10 + Z – Х – У – Z = 99 Х – 9 У = 9 * (11 Х – У), Для четырехзначного числа : Х * 1000 + У * 100 + Z * 10 + R – Х – У – Z - R = 999 Х – 99 У – 9 R =  9 * (111 Х –11 У - R ) и т. д.

И можно отметить еще одно свойство:

Если из данного числа вычесть составляющие его цифры, то разность будет всегда представлять число, кратное 9.

Например:

375 – 3 – 7 – 5 = 360; 360: 9 = 40.

Это тоже можно объяснить:

Для двухзначного числа: Х * 10 + У – Х – У = 9 Х

Для трехзначного числа: Х * 100 + У * 10 + Z – Х – У – Z = 99 Х – 9 У = 9 * (11 Х – У),

Для четырехзначного числа :

Х * 1000 + У * 100 + Z * 10 + R – Х – У – Z - R = 999 Х – 99 У – 9 R =

9 * (111 Х –11 У - R ) и т. д.

На школьную научно-практическую конференцию мы пригласили учащихся 7 «Б» класса в качестве слушателей для последующего опроса . Ребятам были предложены основополагающие вопросы :

На школьную научно-практическую конференцию мы пригласили учащихся 7 «Б» класса в качестве слушателей для последующего опроса . Ребятам были предложены основополагающие вопросы :

 Заключение  Работая по данной теме, я пришла к следующим выводам: Необычные, удивительные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур; Выделяется много видов таких чисел; Фигурное представление чисел помогло «открыть» некоторые математические свойства; Фигурные числа – это интересно! Светильник, который я изготовила сама – пространственное фигурное число!

Заключение

Работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:

  • Необычные, удивительные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
  • Выделяется много видов таких чисел;
  • Фигурное представление чисел помогло «открыть» некоторые математические свойства;
  • Фигурные числа – это интересно!
  • Светильник, который я изготовила сама – пространственное фигурное число!
Много чисел существует Я их изучала Не теряя время даром Светильник собирала Вот фигурное число В светильнике заключено Буду свет теперь включать И проект свой вспоминать

Много чисел существует

Я их изучала

Не теряя время даром

Светильник собирала

Вот фигурное число

В светильнике заключено

Буду свет теперь включать

И проект свой вспоминать

 Спасибо  за внимание !

Спасибо за внимание !


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!