Математика. Параллельные прямые в пространстве.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.    Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.   Teорема 1.  Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну. Доказательство: 1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α. 2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b точку A. 3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.   Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну. Доказательство: 1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α. 2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.   Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. (1. рис.) (2. рис.)    Доказательство: Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1. рис.).   Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β.   Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β(2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).   Прямые a, b и c находятся в плоскости β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.   Точку пересечения прямых a и c обозначим за K. Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.   Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Дано: a∥cиb∥c Доказать: a∥b Доказательство: Выберем точку M на прямой b. Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).   Возможны два случая: 1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.   Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.   Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны. Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.   Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.