Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

№

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1

Организационный.

Приветствие учащихся; проверка готовности класса к уроку; организация внимания; Мотивация учащихся на работу.

Приветствие учителя, организация внимания; Мотивация на работу.

2

Актуализация знаний.

Учитель. Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте вспомним тему прошлого урока и ответим на следующие мои вопросы. Какие прямые на плоскости называются перпендикулярными?

Обратите внимание на доску. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, ∠BAD=300. Найдите углы между прямыми АВ и A1D1; A1B1 и AD; AB и B1C1.

Запись на доске и в тетрадях:

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Углы между прямыми АВ и A1D1; A1B1 и AD; AB и B1C1 равны соответственно 30^о, 30^о, 150^о.

3

Изучение нового материала.

Учитель. Мы приступаем к изучению новой главы «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Сегодня на уроке введем понятие перпендикулярных прямых в пространстве; докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дадим определение перпендикулярности прямой и плоскости; докажем теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; научимся применять изученные понятия и теоремы при решении задач.

Учитель. Рассмотрим модель куба.

Учитель задает вопросы:

1.Как называются прямые АВ и ВС?

2. Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD.

Значит эти прямые тоже перпендикулярные.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90^о. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а⊥b .Запись на доске и в тетрадях: а ⊥b.

Учитель. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямой СD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна СD.

Запись на доске и в тетрадях:

АА1‖СС1, СС1⊥СD, АА1⊥СD

Попробуйте сформулировать это утверждение.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a ‖ b, a ⊥ c. Доказать: b ⊥ c

Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о. а ⊥ с, то ∠АМС=90о

По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА. b ‖ a (по условию), а ‖ МА(по построению)→ b ‖ МА

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90^о. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

Рассмотрим модель куба.

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, AD, AC, BD, MN.

Итак, прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС). Такие прямые называются перпендикулярными.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

а ⊥ α

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, то есть перпендикулярно к плоскости земли. Также расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью и перпендикулярностью к плоскости.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а‖а1, а⊥α. Доказать, что а1⊥α

Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α.

x ∊ α. . Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: а⊥α, b⊥α. Док., что а‖b

Доказательство: Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. М ∊ b, M ∊b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b.

b ∊ β, b1 ∊β, αхβ=c (невозможно)→ а‖b.

Записывают число и тему. Тема урока «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости».

Запись на доске и в тетрадях.

Ученики отвечают:

1. Прямые АВ и ВС перпендикулярные.

2.Углы между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD равны 90^о.

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Ученик. Все углы равны 90^о.

Записи на доске в тетрадях.

4

Первичное закрепление материала.

Задача №117. В тетраэдре АВСD ВС⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N –середины ребер АВ и ВС.

Дано: ABCD – тетраэдр; М ∊ АВ: АМ=ВМ, N ∊ АС: АN=NC; ВС⊥АD

Доказать: AD⊥MN

Доказательство:

Что можем сказать о параллельности прямых MN и ВС?

MN – средняя линия АВСMN ‖ BC.

Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.

Дано: АВСD – квадрат, АВ = а, АС∩BD = О, ОК⊥(АВС), ОК=b. Найти: АК, ВК, СК, DK

Решение: Что можно сказать о равенстве треугольников АОК, ВОК, СОК, DОК?

Запись на доске и в тетрадях: ОК⊥(АВС) → ОК⊥АС, ОК⊥BD.

Тогда что можно сказать о равенстве отрезков АК, ВК, СК, DK?

АК=ВК= СК= DK

Применяя какую теорему, можно найти стороны в прямоугольном треугольнике?

Запись на доске и в тетрадях:

Ответ: АК=ВК=СК=DК =

MN – средняя линия треугольника АВС, сл-но прямые MN и ВС параллельны

По лемме, так как ВС⊥AD, то MN⊥AD. Т.к. ВС⊥AD (по лемме)⇒ MN⊥AD.

∆ АОК, ∆ ВОК, ∆ СОК, ∆ DОК равны по двум катетам, так как прямая ОК – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, ОК⊥АС, ОК⊥BD.

Отрезки АК, ВК, СК, DK равны.

Применяя теорему Пифагора.

5.

Подведение итогов урока.

Учитель. Сегодня на уроке мы рассмотрели перпендикулярные прямые в пространстве. Есть ли у вас какие-то вопросы ко мне? Задавайте.

Ответьте, пожалуйста, на следующие мои вопросы:

Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными? Какую лемму мы изучили?

Какие две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости, мы изучили?

Отмечаются наиболее активные учащиеся.

Все понятно.

Ответы учащихся.

.

6.

Домашнее задание.

Домашнее задание следующее: прочитать параграф §15,16 учебника, устно ответить на вопросы в конце параграфа (1-2, с.57), письменно № 116, 118.

Записывают домашнее задание.