Математика. Формулы кратного аргумента.

Вспомним свойства четности/нечетности тригонометрических функций:

sin(−α) = − sin(α);   cos(−α) = cos(α);   tg(−α) = − tg(α).

Из всех тригонометрических функций только косинус является четной функцией и не изменяет свой знак при смене знака аргумента (угла), остальные функции являются нечетными. Нечетность функции, фактически, означает, что знак минус можно вносить и выносить за знак функции. Поэтому, если Вам встретится тригонометрическое выражение с разностью двух углов, всегда можно будет понимать его как сумму положительного и отрицательного углов.

Например, sin(x − 30º) = sin( x + (−30º) ). Дальше пользуемся формулой суммы двух углов и разбираемся со знаками: sin( x + (−30º) ) = sinx·cos(−30º) + cosx·sin(−30º) =  = sinx·cos30º − cosx·sin30º.

Таким образом все формулы, содержащие разность углов, можно просто пропустить при первом заучивании. Затем стоит научиться восстанавливать их в общем виде сначала на черновике, а потом и мысленно.

Например, tg(α − β) = tg(α + (−β )) =  tgα + tg(−β)___________1 − tgα·tg(−β) =  tgα − tgβ_________1 + tgα·tgβ .

Это поможет в дальнейшем быстрее догадываться о том, какие преобразования нужно применить для решения той или иной задачи из тригонометрии.

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg(α + β) =  tgα + tgβ_________1 − tgα·tgβ ;

tg(α − β) =  tgα − tgβ_________1 + tgα·tgβ .

1. Сумма синусов   sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2

2. Разность синусов   sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2

3. Сумма косинусов   cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2

4. Разность косинусов   cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2

5. Сумма тангенсов   tanα+tanβ=sin(α+β)cosα⋅cosβ

6. Разность тангенсов   tanα−tanβ=sin(α−β)cosα⋅cosβ

7. Сумма котангенсов   cotα+cotβ=sin(β+α)sinα⋅sinβ

8. Разность котангенсов   cotα−cotβ=sin(β−α)sinα⋅sinβ

9. Сумма косинуса и синуса   cosα+sinα=√2cos(π4−α)=√2sin(π4+α)

10. Разность косинуса и синуса   cosα−sinα=√2sin(π4−α)=√2cos(π4+α)

11. Сумма тангенса и котангенса   tanα+cotβ=cos(α−β)cosα⋅sinβ

12. Разность тангенса и котангенса    tanα−cotβ=−cos(α+β)cosα⋅sinβ

13. 1+cosα=2cos2α2 

14. 1−cosα=2sin2α2 

15. 1+sinα=2cos2(π4−α2)  

16. 1−sinα=2sin2(π4−α2)