Математика. Периодичность тригонометрических функций.

Периодичность функций sin φ и cos φ

Предположим, что вектор ОА = (х, у) единичной длины образует с осью абсцисс угол φ.

Если   сделать   полный оборот вектора ОА вокруг точки О против часовой стрелки, то получится угол φ + 360°. Но вектор ОА при этом займет первоначальное положение, а потому координаты его х и у не изменятся.

Следовательно,

у = sin φ = sin(φ + 360°),

x = cos φ = cos (φ+ 360°).

Эти соотношения показывают, что значения функций sin φ и cos φ не изменяются, если их аргумент, увеличить на 360°.

Пусть f(х) есть некоторое выражение, зависящее от переменной величины х.  (Например,     f(х) = x²,    f(х) = sin x     и т. д.)

Тогда равенство    y = f(х) 

Определяет у как функцию аргумента х.

Если   при   любых  допустимых значениях аргумента х

f(x+T) = f (х),

где Т — некоторое отличное от нуля число, то функция f (x) называется периодической, а число Т — ее периодом.

Согласно этому определению функции sin x и cos х являются периодическими с  периодом   Т = 360°.

При n полных оборотах вектора ОА против часовой стрелки образуется угол φ + 360°n, а по часовой стрелке — угол φ — 360°n. В каждом из этих случаев координаты х и у вектора не изменяются, а потому не изменяются sin φ и cos φ.

Таким образом,         cos φ = cos (φ + 360°n),

sin φ = sin  (φ + 360°n),                           (1)

где n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Формулы (1) показывают, что каждый из углов 360°; 720°;  1080°; ... (n = 1, 2, 3, . . .), — 360°;   —720°;  —1080°;   ...   (n = — 1,   —2,   —3,   . . .) является периодом функции sin φ и cos φ. Таким образом, эти периодические функции имеют бесконечное множество периодов.

Можно доказать, что любая периодическая функция (а не только sin φ и cos φ) имеет бесконечное множество периодов.

Говоря  о  периоде функции,  удобно  из бесконечного множества всех ее периодов иметь в  виду   какой-нибудь  один   вполне определенный   период.   Обычно   выделяют   наименьший   положительный период функции.

Из всех рассмотренных выше периодов функции sin φ наименьшим  положительным  периодом является угол в 360°.      Но, может быть, существует еще меньший угол, который мы   просто упустили из виду, но который, Также является периодом функции sin φ? Чтобы решить этот вопрос, предположим, что наименьший положительный период функции sin φ равен Т. Тогда при  любом  φ

sin   (φ + Т) = sin φ.

В частности,  при φ = 0 получаем: sinТ = sin  0° = 0.

Но нулю равны синусы лишь тех положительных углов, которые кратны углу в 180° , то есть углов в 180°, 360°, 540° и т. д. Поэтому единственным «конкурентом» для угла » 360° является угол в 180°.

Составляет ли он период функции sin φ? Если бы это было так, то равенство sin (φ + 180°) = sin φ должно было бы выполняться при всех значениях φ. В частности, при φ = 90° мы  получили  бы

sin 270° = sin 90°.

Ho sin 270° = —1,    a    sin 90° = 1 . Поэтому угол в 180° не является периодом функции sin φ. Остается признать, что периодом   (то    есть   наименьшим    положительным    периодом) функции sin φ является угол в 360°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360°  Предлагаем  учащимся  убедиться в этом самостоятельно.

Периодичность функций tg φ и ctg φ

Мы знаем, что тангенс угла φ равен ординате соответствующей точки В на оси тангенсов . При повороте вектора ОА, образующего с осью абсцисс угол φ, на 180° против часовой стрелки вектор изменит свое направление на противоположное, но соответствующая точка В на оси тангенсов останется прежней. Поэтому не изменится и тангенс угла.

Следовательно, при любом φ

tg  (φ + 180°) = tg  φ.

 Это означает,  что функция  tg φ является периодической с периодом 180°. Но будет ли угол в 180°  наименьшим жительным периодом этой функции?

Предположим, что наименьший положительный период функции tg φ равен Т. Тогда для всех допустимых значений φ  должно быть

tg (φ + Т) = tg φ 

В частности, при  φ = 0° получаем:

tg  Т = tg 0° = 0.

Но тангенс положительного угла равен нулю лишь тогда, когда синус этого угла равен нулю, то есть при Т = 180°, 360°, 540° и т, д. Следовательно, никакой положительный угол, меньший 180°, не может быть периодом функции tg φ. Остается признать, чтб периодом(то есть наименьшим положительным периодом) функции tg φ является угол в 180°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции сtg φ также является угол в 180°. Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Упражнения

1. Данные выражения преобразовать так,  чтобы входящие в них углы были положительными и не превышали 180°:

a) tg 205°;   б) tg (—185°);   в) ctg 300°;   г) ctg (—210°).

2.  Данные выражения преобразовать так, чтобы   входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90°:

 a) tg 375°;    б) ctg (—93°);    ctg 530° .

3.  Доказать, что угол в 120°   является  одним   из  периодов функции у = ctg 3х.

4.  Доказать, что любой период Т функции у = ctg х является корнем уравнения

ctg   (х + 90°) = 0.

Верно ли обратное утверждение?

О периодических функциях.

Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.

Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т — период этой функции.

Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале (а + Т,  а + 2T ).

Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b' из интервала (а, а + T ), отстоящую от b на расстоянии T.

В силу периодичности функции f(x)

f(b) = f( b')

Таким образом, по заданным значениям функции f{x) в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f{x) в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f{x) в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).

Итак, задание периодической с периодом Т функции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin φ и  у = cos φ  достаточно рассмотреть их лишь при 0° < φ < 360°. Для исследования функции у = tg φ можно было бы ограничиться интервалом 0° < φ < 180°. Но при φ = 90°     tg φ   не определен. Поэтому в данном случае целесообразнее выбрать какой-нибудь другой интервал, в каждой точке которою функция у = tg φ была бы определена. Мы отдадим предпочтение интервалу —90° < φ < 90°. Однако в принципе можно было бы выбрать, конечно, и интервал 0° < φ < 180°. Для изучения функции сtg φ целесообразно выбрать интервал 0° < φ < 180°.