Декартовы КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ.

Урок № ______

Предмет: математика

Дата проведения:

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа:

Тема программы: Декартовы КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ.

Тема: Векторы в пространстве

Цели урока: Обучающая: Изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научитесь решать задачи, связанные с вектором. Обобщить свои знания о векторах в координатах также научитесь выполнять эти действия.

Развивающая: Развивать мышление, память.

Воспитывающая: Воспитать интерес к уроку.

Тип урока: Изучения нового материала.

Литература:(А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2.Повторение

Какие фигуры в пространстве наз.равными?

Дайте определение угла между плоскостями.

3. Формирование новых понятий и способов действия.

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется вели­чина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображается направленным отрезком, длина которого равна длине вектора. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x₁,y₁,z₁), а конец — точка В(х₂, у₂, z₂), называются числа a₁= х_2- x_1, a₂=y₂-y_1, a₃=z₂-z₁.

Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a₁ а₂, а₃) или (a₁ а₂, а₃).

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда

а₁ = 0 - 4 = -4, а₂ = 6 - 0 = 6, а₃ = 4 - 3 = 1.

Значит, направленному отрезку соответствует вектор (-4; 6; 1

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

Длину вектора (a₁ а₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор от начала координат (рис. 68). Тогда четырехуголь­ник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а₁ и а₂, поэтому ОА_z² = а₁² + а₂². В прямоугольном треугольнике ОА₂ А второй катет А_z А = а₃ и ОА² = ОА²_г + а₃² = а₁² + а₂²+ а₃². Отсюда | | =

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а b) или противоположно направлены (а b). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

4. Закрепление

1.Точки С(4;1;-1) и D(0;5;5) делят отрезок АВ на три равные части. Найдите длину отрезка АВ.

а) 6  в)11 . с)9  d) 8

7.Решение задач по учебнику

№13. №16. №17. Стр 61

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения:

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа №

Тема программы: Декартовы КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ.

Тема: Действия над векторами в координатах.

Цель: Обучающая: ввести понятие вектора в пространстве, равенства векторов. Рассмотреть правила действия над векторами, правило сложения.

Развивающая: Развивать умение быстро ориентироваться в пространстве

Воспитывающая: Воспитать доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, дисциплинированность.

Литература: (А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс)

Ход урока.

1.Орг. момент

Приветствие.

2. Повторение

-что такое абсолютная величина вектора?

-что называется вектором на плоскости?

_ приведите примеры векторных величин.

_ какие векторы называются равными?

3. Объяснение нового материала.

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогич­но тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

1. а+b=b+а — переместительный закон сложения;

2. а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место вектор­ное равенство + = .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃) (b₁ – а₁; b₂ - а₂; b₃ - а₃) и (с₁ - b_г; с₂ - b₂, с₃ - b₃).

Отсюда + = (с₁ – а₁; с₂ - а₂; с₃ - а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника (рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то + = .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соот­ветствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то - = (а₁ –b₁; а₂ - b₂; а₃ – b₃).

Определение. Произведением вектора (a₁; а₂; a₃) на число k называется вектор k = (k а₁; k а₂; k а₃).

Из определения вытекают следующие свойства: 1)k( + ) =k + k ,

2)(т + n) • =т +п и равенство | k • | = | k |•| | (здесь k, т, п — числа). Скалярным произведением (а1;а2;а3) и (в1;в2;в3) наз. число а1в1+а2в2+а3в3

Ненулевые векторы а и b коллинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое число х, что выполняется равенство = х . При этом число х единственно.

4. Закрепление

6.Подведение итогов урока.