Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве.

Практическое занятие

Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве.

1) Теоретический этап.

Опорный конспект.

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения  направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с². Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вектор — это направленный отрезок.

Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается:   или  

Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы  и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов  и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы   и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов  и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

– =

При умножении вектора  на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если  k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

2) Практический этап.

Вариант 1.

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. Найдите вектор, равный сумме векторов: + + .

2. Найдите вектор, равный: – – .

3. Упростите выражение: – – + + + .

4. Упростите выражение: 3( + ) – 4(2 – ) + .

Вариант 2.

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. Найдите вектор, равный сумме векторов: + + .

2. Найдите вектор, равный: – – .

3. Упростите выражение: + + – – + .

4. Упростите выражение: + 3(2 – ) – 2( – ).