Понятие вектора. Виды векторов

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Содержание:

1. Определение вектора и основные свойства
   1. Выражения вектора компонентами в координатной плоскости
      1. Длина вектора
      2. Направление вектора
      3. Сложение и вычитание коллинеарных векторов
      4. Сложение векторов
      5. Правило параллелограмма
      6. Сложение векторов, заданных компонентами
      7. Тригонометрические отношения и компоненты вектора
      8. Умножение вектора на число
      9. Свойство умножения вектора на число
      10. Действия над векторами, заданным над координатами
   2. Линейные операции над векторами
   3. Проекция вектора на произвольную ось
   4. Декартова система координат и вектора
   5. Направляющие косинусы вектора
   6. Способы задания вектора
   7. Деление отрезка в заданном отношении
   8. Понятие базиса векторов
2. Векторы в геометрии
   1. Понятие вектора в геометрии
   2. Координаты вектора
   3. Сложение и вычитание векторов
   4. Умножение вектора на число
   5. Применение векторов
   6. Скалярное произведение векторов
      1. Справочный материал
3. Векторы в аналитической геометрии
   1. Линейные операции над векторами
   2. Проекция вектора на ось
   3. Линейная зависимость векторов
   4. Базис. Координаты вектора в базисе
   5. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
   6. Направляющие косинусы
4. 1. Скалярное произведение
   2. Векторное произведение
   3. Смешанное произведение
5. Векторы в высшей математике
   1. Алгебраические операции над векторами и их свойства
   2. Сложение векторов
   3. Умножение вектора на число
   4. Скалярное произведение векторов и его свойства
   5. Операции над векторами в высшей математике
   6. Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами
   7. Линейное пространство
   8. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.
6. Элементы векторной алгебры
   1. Скаляры и векторы
   2. Сумма векторов
   3. Разность векторов
   4. Умножение вектора на скаляр
   5. Коллинеарные векторы
   6. Компланарные векторы
   7. Проекция вектора на ось
   8. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
   9. Длина и направление вектора
   10. Расстояние между двумя точками пространства
   11. Действие над векторами, заданными в координатной форме
   12. Скалярное произведение векторов
   13. Физический смысл скалярного произведения
   14. Скалярное произведение векторов в координатной форме
   15. Векторное произведение векторов
   16. Векторное произведение в координатной форме
   17. Смешанное произведение векторов

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой 

где А - начало, а В - конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .

Определение: Если начало и конец вектора  не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца: 

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора  и  называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение - самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки  в точку  изображается с помощью направленного от  до  отрезка - вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь  - начало,  вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора  обозначают, как: 

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы  и  равны: .

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Векторы  и  противоположны: 

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается  Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .

На рисунке векторы  -коллинеарные векторы. Здесь 

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор  на координатной плоскости. Конечная точка  относительно начальной точки  изменила свое положение вдоль оси  на  (при  направо, при  налево), вдоль оси  на  (при  вверх, при  вниз). Векторы  и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел  и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

На координатной плоскости вектор  с начальной точкой  и конечной точкой  согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь  называются также координатами вектора.

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле: 

Пример 1.

Напишите вектор  начальная точка которого , конечная  в виде 

Решение: Напишем вектор с компонентами: 

Пример 2.

Точка  начальная точка вектора  Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора  - точку : Тогда . Конечная точка этого вектора 

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору  начальными точками которых являются точки .

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные 

Пример 4.

 и  соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде  и найдите длину 

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси  против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора  обозначена  а угол, определяющий направление, через .

длина вектора: 

направление вектора:  или 

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона  Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси  угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора 

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор  как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно  Это можно проверить вычислениями.

Длина вектора:  Угол наклона: 

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.