«Арифметические способы решения текстовых задач».

Тренажёр: «Арифметические способы решения задач»

«Сравнение чисел по сумме и разности».

1. В двух корзинах 80 боровиков. В первой корзине на 10 боровиков меньше, чем во второй. Сколько боровиков в каждой корзине?

2. В швейное ателье поступило 480 м джинсовой ткани и драпа. Джинсовой ткани поступило на 140 м больше, чем драпа. Сколько метров джинсовой ткани поступило в ателье?

1. Модель телебашни состоит из двух блоков. Нижний блок на 130 см короче верхнего. Какова высота верхнего и нижнего блоков, если высота башни 4 м 70 см?

1. В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше.

Задача из «Арифметики» Л. Н. Толстого.

1. а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6 овец. Сколько овец у каждого мужика?

1. В гараже стояли 23 легковых машин и мотоциклов с коляской. У машин и мотоциклов 87 колес. Сколько в гараже мотоциклов, если в каждую коляску положили запасное колесо?

«Круги Эйлера».

1. В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С изображает жильцов с собаками, круг К – жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют и собак, и кошек? Сколько жильцов имеют только собак? Сколько жильцов имеют только кошек? Сколько жильцов не имеют ни собак, ни кошек?

С К

1. 8 23

С и К

120

1. Из 52 школьников 23 занимаются волейболом и 35 баскетболом, а 16 – и волейболом, и баскетболом. Остальные не занимаются ни одним из этих видов спорта. Сколько школьников не занимаются ни одним из этих видов спорта?

1. На рисунке круг А изображает всех сотрудников университета, знающих английский язык, круг Н – знающих немецкий и круг Ф – французский. Сколько сотрудников университета знает: а) 3 языка; б) английский и немецкий; в) французский? Сколько всего сотрудников университета? Сколько из них не говорит по – французски?

А 15 Н

40 3 22

7 5

8 Ф

1. В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и немецким, 19 – английским и немецким, 15 – русским и английским, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

1. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

1. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал, и лишь 13 семей выписывают и журнал и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

«Метод уравнивания данных».

1. В 3 маленьких и 4 больших букетах 29 цветков, а в 5 маленьких и 4 больших букетах 35 цветков. Сколько цветков в каждом букете в отдельности?

1. Масса 2 плиток шоколада – большой и маленькой – 120 г, а 3 больших и 2 маленьких – 320 г. Какова масса каждой плитки?

1. 5 яблок и 3 груши весят 810 г, а 3 яблока и 5 груш весят 870 г. Сколько весит одно яблока? Одна груша?

1. Четыре утенка и пять гусят весят 4кг 100г, пять утят и четыре гусенка весят 4 кг. Сколько весит один утенок?

1. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы - 35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

2. 3 красных кубика и 6 синих кубиков стоят 165тг руб. Причём, пять красных дороже двух синих на 95 тг. Сколько стоит каждый кубик?

1. 2 альбома для рисования и 3 альбома для марок вместе стоят 160 руб., причём 3 альбома для рисования стоят на 45 руб. дороже двух альбомов для марок.

«Графы».

1. Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать?

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются?

1. В среду в 5 классе пять уроков: математика, физкультура, история, русский язык и естествознание. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить?

«Старинный способ решения задач на смешение веществ».

1. Как смешать масла? У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

1. Сколько надо взять карамели по цене 260 тг за 1 кг и по цене 190 тг за 1 кг, чтобы составить 21 кг смеси по цене 210 тг за килограмм?

1. Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

1. Некто имеет серебро разных проб: одно – 12 – ой пробы, другое – 10 – ой пробы, третье – 6 – ой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 9 – ой пробы?

1. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб.?

Разные задачи.

1. Для новогодних подарков купили 87 кг фруктов, причем яблок было на 17 кг больше, чем апельсинов. Сколько яблок и сколько апельсинов купили?

1. На новогодней елке детей в карнавальных костюмах снежинок было в 3 раза больше, чем в костюмах Петрушек. Сколько было детей в костюмах Петрушек, если их было на 12 меньше?

1. Маша получила в 2 раза меньше новогодних поздравлений, чем Коля. Сколько поздравлений получил каждый, если всего их было 27?(9 и 18).

1. Для новогодних призов было куплено 28 кг конфет. Конфеты “Ласточка” составили 2 части, “Муза” - 3 части, “Ромашка” - 2 части. Сколько конфет каждого сорта купили?(8, 8, 12).

1.  На складе есть 2004 кг муки. Можно ли её разложить в мешки массой в 9 кг и массой в 18 кг?

1. На складе есть 2004 кг муки. Можно ли её разложить в мешки массой в 9 кг и массой в 18 кг?

2. В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

1. Лошадь съедает стог сена за 2 дня, корова - за 3, овца - за 6. За сколько дней они съедят стог, если будут есть его вместе?

4

« Арифметические способы решения текстовых задач».

Человеку, изучающему математику, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У.Сойер

Цель урока: использовать знания, полученные на предыдущих уроках, проявить фантазию, интуицию, воображение, смекалку для решения тестовых задач различными способами.

Задачи урока: образовательные: анализируя данные задачи, наблюдая, что общего в задачах с точки зрения математика, в чем различие, найти неординарный способ решения задач, создать копилку приёмов решения задач, обучиться решению одной задачи различными способами.

Развивающие: ощутить необходимость самореализации, оказавшись в определенной ролевой ситуации.

Воспитательные: развивают личностные качества, формируют коммуникативную культуру.

Средства обучения: тренажёр задач, сгруппированных единой тематикой "Арифметические способы решения задач", задачи для работы в группе и для индивидуальной работы.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня у нас занятие по теме «Арифметические способы решения текстовых задач».

II. Актуализация знаний.

Математика - одна из древних и важных наук. Многими математическими знаниями люди пользовались еще в глубокой древности - тысячи лет назад. Они были необходимы купцам и строителям, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

И в наши дни ни одному человеку не обойтись в жизни без хорошего знания математики. Основа хорошего понимания математики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

Сегодня мы рассмотрим арифметические способы решения текстовых задач, разберем задачи старинные, дошедшие до нас из разных стран и времен, задачи на уравнивания, на сравнение по сумме и разности и другие.

Цель занятия – вовлечь вас в удивительный мир красоты, богатства и многообразия – мир интересных задач. А, значит, познакомить с некоторыми арифметическими способами, приводящими к весьма изящным и поучительным решениям.

Задача – это почти всегда поиск, раскрытие каких – то свойств и отношений, а средства ее решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики.

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач.

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

Не секрет, что человек, владеющий разными инструментами и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается значительно лучших результатов, чем человек, владеющий лишь одним универсальным инструментом.

Существует много арифметических способов и нестандартных приемов решения задач. С некоторыми из них я сегодня хочу вас познакомить.

1.Метод решения текстовых задач «Сравнение чисел по сумме и разности».

Задача: Бабушка осенью с дачного участка собрала 51 кг моркови и капусты. Капусты было на 15 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

Вопросы, которые соответствуют пунктам алгоритма решения задач данного класса.

1.  Выяснить о каких величинах идет речь в задаче

О количестве моркови и капусты, которые собрала бабушка, вместе и в отдельности.

2.  Указать, значения каких величин необходимо найти в задаче.

Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

3.  Назвать зависимость между величинами в задаче.

В задаче говорится о сумме и разности величин.

4.  Назвать сумму и разность значений величин.

Сумма – 51 кг, разность – 15 кг.

5.  Уравниванием величин найти удвоенное значение меньшей величины (от суммы величин отнять разность величин).

51 – 15 = 36 (кг) – удвоенное количество моркови.

6.  Зная удвоенное значение, найти значение меньшей величины (удвоенное значение разделить на два).

36 : 2 = 18 (кг) – моркови.

7.  Используя разность величин и значение меньшей величины, найти значение большей величины.

18 + 15 = 33 (кг) – капусты. Ответ : 18 кг, 33 кг. Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?
Способ 1. Метод подбора: 
2 фазана, 4 кролика. 
Проверка: 2 + 4 = 6 (голов); 4 • 4 + 2 • 2 = 20 (ног). 
Это метод подбора (от слова “подбирать”). Преимущества и недостатки у этого метода решения (трудно подбирать, если числа большие) Таким образом, появляется стимул для поиска более удобных методов решения. 
Итоги обсуждения: метод подбора удобен при действиях с маленькими числами, при увеличении величин он становится нерациональным и трудоемким.
Способ 2. Полный перебор вариантов.

Составляется таблица:  

Ответ: 4 кролика, 2 фазана. 
Название этому методу - “полный”. Итоги обсуждения: метод полного перебора удобен, но при больших величинах достаточно трудоемок. 
Способ 3. Метод предположения. 

Возьмем старинную китайскую задачу:

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. (Задача из китайской математической книги «Киу-Чанг», составленной за 2600 лет до н. э.).

Приведем диалог, найденный у старых мастеров математики. - Представим, что на клетку, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

- 70 (35 × 2)

- Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

- Остальные ноги не посчитаны – это передние ноги кроликов.

- Сколько же их?

- 24 (94 – 70 = 24)

- Сколько же кроликов?

- 12 (24 : 2 = 12)

- А фазанов?

- 23 (35- 12 = 23)

Название этого метода – “метод предположения по недостатку”.  Попробуйте сами объяснить это название (у сидящих в клетке 2 или 4 ноги, а мы предположили, что у всех наименьшее из этих чисел – 2 ноги). 

Другой способ решения этой же задачи. - Давайте попробуем решить эту задачу - “методом предположения по избытку”: Представим себе, что у фазанов появилось еще по две ноги, тогда всех ног будет 35 × 4 =140.

Но по условию задачи, всего 94 ноги, т.е. 140 – 94= 46 ноги лишние, чьи они? Это ноги фазанов, у них появилась лишняя пара ног. Значит, фазанов будет 46: 2 = 23, тогда кроликов 35 -23 = 12.
Итоги обсуждения: метод предположения имеет два варианта – по недостатку и по избытку; по сравнению с предыдущими методами он удобнее, так как менее трудоемок. 
Задача. По пустыне медленно идет караван верблюдов, всего их 40. Если пересчитать все горбы у этих верблюдов, то получится 57 горбов. Сколько в этом караване одногорбых верблюдов? 1 способ. Решить с помощью уравнения.

Кол- во горбов у одного Кол- во верблюдов Всего горбов

2 х 2 х

1 40 - х 40 - х 57

2 х + 40 - х = 57

х + 40 = 57

х = 57 -40

х = 17

2 способ.

- Сколько горбов может быть у верблюдов?

(их может быть два или один)

Давайте каждому верблюду на один горб прикрепим цветок.

- Сколько цветков потребуется? (40 верблюдов – 40 цветов)

- Сколько горбов останется без цветов?

( Таких будет 57-40=17. Это вторые горбы двугорбых верблюдов ).

- Сколько двугорбых верблюдов? (17)

- Сколько одногорбых верблюдов? (40-17=23)

- Каков же ответ задачи? (17 и 23 верблюдов).

Задача. В гараже стояли легковые машины и мотоциклы с колясками, всех вместе 18. У машин и мотоциклов – 65 колес. Сколько мотоциклов с колясками стояло в гараже, если у машин 4 колеса, а у мотоцикла – 3 колеса?

1 способ. С помощью уравнения:

Кол- во колес у 1 Кол- во Всего колес

Маш. 4 х 4 х

Мот. 3 18 - х 3(18 - х ) 65

4 х +3(18 - х ) = 65

4 х + 54 -3х =65

х = 65 - 54

х = 11, 18 – 11 = 7.

2 способ.

Переформулируем задачу: Грабители, пришедшие в гараж, где стояли 18 машин и мотоциклов с колясками, сняли с каждой машины и каждого мотоцикла по три колеса и унесли. Сколько колес осталось в гараже, если их было 65? Машине или мотоциклу они принадлежат?

Решение:

3×18=54 –столько колес унесли грабители,

65- 54 = 11 – столько колес осталось (машин в гараже),

18 - 11 = 7 –мотоциклов.

Ответ: 7 мотоциклов.

Самостоятельно:

В гараже стояли 23 легковых машин и мотоциклов с коляской. У машин и мотоциклов 87 колес. Сколько в гараже мотоциклов, если в каждую коляску положили запасное колесо?

- Сколько стало колес у машин и мотоциклов вместе? (4×23=92)

- Сколько запасных колес положили в каждую коляску? (92 - 87= 5)

- Сколько машин в гараже? (23 - 5=18).

Задача. В нашем классе можно изучать английский или французский языки (по выбору). Известно, что английский язык изучают 20 школьников, а французский – 17. Всего в классе 32 ученика. Сколько учащихся изучают оба языка: и английский и французский?

Изобразим два круга. В одном будем фиксировать количество школьников, изучающих английский язык, в другом –школьников, изучающих французский. Так как по условию задачи есть учащиеся, изучающие оба языка: и английский и французский, то круги будут иметь общую часть. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 20 и 17, то получится больше чем 32. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды – а именно тех, которые изучают оба языка: и английский и французский. Значит, (20 + 17) – 32 = 5 учащихся изучают оба языка: и английский и французский.

Англ. Фран.

20 уч. 17 уч.

А и Ф

32

(20 + 17) – 32 = 5 (учащихся).

Схемы, подобные той, которой мы воспользовались при решении задачи, в математике называют кругами (или диаграммами) Эйлера. Леонард Эйлер (1736 год) родился в Швейцарии. Но долгие годы жил работал в России.

Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал, и лишь 13 семей выписывают и журнал и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Газеты Журналы

62 Г и Ж 14

13

(75-13) (27-13)

По рисунку видно, что в доме живут 89 семей.

Задача. В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и немецким, 19 – английским и немецким, 15 – русским и английским, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

60 48

Русский 15 Английский

21 10 19

32

Немецкий

Решение: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (чел.).

Задача. Три котенка и два щенка весят 2 кг 600 г, а два котенка и три щенка весят 2 кг 900 г. Сколько весит щенок?

Запишем краткое условие задачи:

3 котенка и 2 щенка – 2кг 600 г

2 котенка и 3щенка – 2кг 900 г.

Из условия следует, что 5 котят и 5 щенят весят 5 кг 500 г. Значит, 1 котенок и 1 щенок весят 1 кг 100 г

2 кот.и 2 щен. весят 2 кг 200 г

Сравним условия –

2 котенка + 3щенка =2кг 900 г

2 котенка + 2 щенка = 2 кг 200 г, видим, что щенок весит 700 г.

Задача. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы - 35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

Запишем краткое условие задачи:

1 лошади и 2 коров -34кг.

2 лошадей и 1 коров -35кг.

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для 3 лошадей и 3 коров?

(для 3 лошадей и 3 коров – 34+35=69 кг)

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для одной лошади и одной коровы? (69 : 3 – 23кг)

Сколько сена потребуется для одной лошади? (35-23=12кг)

Сколько сена потребуется для одной коровы? (23 -13 =11кг)

Ответ: 12кг и 11 кг.

Задача. Мадина решила позавтракать в школьном буфете. Изучи меню и ответь, сколькими способами она может выбрать напиток и кондитерское изделие?

- Давайте предположим, что из напитков Мадина выберет чай. Какое кондитерское изделие она может подобрать к чаю? (чай – ватрушка, чай – печенье, чай – булка)

- Сколько способов? (3)

- Как будем рассуждать дальше? (Если Мадина выберет молоко, то тоже может выбрать к нему кондитерское изделие тремя способами).

- А если компот? (тоже 3)

- Как же узнать, сколько способов может Мадина использовать, чтобы выбрать себе обед? (3+3+3=9)

- Да, вы правы. Но чтобы нам было легче решать такую задачу, мы будем использовать графы. Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Обозначим напитки и кондитерские изделия точками и соединим пары тех блюд, которые выберет Мадина.

чай молоко компот

ватрушка печенье булочка

Теперь сосчитаем количество линий. Их 9. Значит, существует 9 способов выбора блюд.

Задача. Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать?

- Как думаете, сколькими способами? (3)

- Почему? (цветов 3)

- Да. Но еще есть разная посуда: или ваза, или кувшин. Давай попробуем выполнить задачу графически.

ваза кувшин

розы тюльпаны гвоздики

Посчитайте линии. Сколько их? (6)

- Значит, сколько существует способов выбора у Сережи? (6)

Ответ. 6.

Итог урока.

Сегодня мы решили ряд задач. Но работа не завершена, есть желание ее продолжить, и надеюсь, что это поможет вам успешно решать текстовые задачи.

Известно, что решение задач – это практическое искусство, подобное плаванию или игре на фортепиано. Научиться ему можно только подражая хорошим образцам, постоянно практикуясь.

Это лишь самые простые из задач, сложные пока остаются предметом для будущего изучения. Но их все равно их намного больше, чем мы смогли бы решить. И если по окончанию урока вы сможете решать задачи «за страницами учебного материала», то можно считать, что я свою задачу выполнила. 

Знание математики помогает разрешить определённую жизненную проблему. В жизни вам придется регулярно разрешать определённые вопросы, для этого необходимо развивать интеллектуальные способности, благодаря которым развивается внутренний потенциал, развиваются умения предвидеть ситуацию, прогнозировать, принять нестандартное решение.

Урок я хочу закончить словами : «Всякая  хорошо решенная  математическая  задача  доставляет  умственное  наслаждение.»  (Г.  Гессе ).

Согласны вы с этим?

Домашнее задание.

На дом будет такое задание: используя тексты решенных задач, как образец, решите задачи № 8, 17, 26 теми способами, которые мы изучили.