Способы решения текстовых задач ВПР

Способы решения текстовых задач ВПР

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Многие практико-ориентированные задачи допускают различные способы решения. Остановимся подробно на их рассмотрении.

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

• арифметический,

• алгебраический,

• геометрический,

• схематический,

• графический;

• табличный.

Арифметический способ

 Арифметический способ – это основной способ решения текстовых задач в начальной школе, однако он находит своё применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот способ позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

Решить задачу арифметическим способом – значит найти ответ на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами. Для решения нужно выполнить арифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Решение:

1) (чел.) – удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) (чел.) – поют в хоре;

4) (чел.) – занимаются танцами;

5) (чел.) – занимаются художественной гимнастикой.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим способом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический способ вместе с тем достаточно сложен, и овладение приёмами решения задач этим способом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску путей их решения: даже задачи, объединенные в одну группу (задачи на нахождение неизвестных по их разности и отношению, задачи на пропорциональное деление и т.д.), имеют со­вершенно разные способы решения.

Алгебраический способ

Решить задачу алгебраическим способом – значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение (неравенство) или систему уравнений (неравенств).

Решение задачи алгебраическим способом можно разделить на несколько этапов:

1. Арифметическая краткая запись условия задачи (цель этапа –осмысление задачи и выяснение связей между величинами). Форма записи может быть различной – схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи. Важно помнить, что этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями. Неизвестные величины на чертеже или в таблице удобно обозначать знаком «?», а главный вопрос задачи, например, выделить в «кружок». Нужно помнить, что единицы измерения всех величин должны быть единые. Намного облегчают решение задачи общепринятые обозначения в математике, физике и т.д.

2. Алгебраическая краткая запись условия задачи (цель этапа – удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё). Форма записи такая же, как и на 1-ом этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной. Важно помнить, что обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц – …, тогда …». Чаще всего за неизвестное принимают главный вопрос задачи, хотя иногда это бывает неудобно, и тогда за неизвестное принимают наименьшую величину. При введении переменной необходимо учесть наибольшее удобство математической записи условия задачи.

3. Составление и решение уравнения (неравенства) или системы уравнений (неравенств). Цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение. Необходимо учитывать область допустимых значений переменных, чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например,

4. Анализ решения уравнения или неравенства. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения (неравенства) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи. Обычно этот этап начинается фразой: «По смыслу задачи х должен быть величиной … (положительной, натуральной, целой, принадлежащей определённому промежутку и т.д.)» Если смысловое требование не выполнено, то найденную величину называют посторонним решением. Полезно провести проверку.

5. Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Задача 2. Бабушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батончиками. За угощением внуки подходили поочередно. Первый, по просьбе бабушки, взял всех батончиков и ещё 1 батончик. Второму было предложено взять того, что осталось, и ещё 2 батончика. Третьему полагалось взять также остатка и ещё 3 батончика, после чего ваза опустела. Докажи, что всем внукам досталось поровну.

Решим задачу алгебраическим способом.

Пусть x (батончиков) – всего, тогда:

первый внук взял (батончиков), второй (батончиков),

третий - (батончиков).

Составим уравнение по условию задачи:

Первый внук съел батончика,

второй внук батончика, тогда третий тоже съел 4 батончика.

Ответ: доказано, что каждый внук съел по 4 батончика.

Алгебраический способ решения задач имеет огромное практическое значение. Там, где арифметика оказывается бессильной или, в лучшем случае, требует крайне громоздких рассуждений, алгебраический способ зачастую легко и быстро приводит к ответу. И даже в так называемых «типовых» арифметических задачах, сравнительно легко решаемых арифметическим путем, алгебраическое решение, как правило, является более коротким и более естественным.

Геометрический способ

 Решить задачу геометрическим способом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный способ делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Геометрия придаёт алгебре необыкновенную красоту и изящность, а вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое.

Одну и ту же задачу можно решать различными геометрическими способа­ми. Задача считается решённой различными способами, если для её решения используются различные построения или свойства фигур.

Задача 3. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20км/ч, второго – 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение:

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч.

Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведём ещё одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т.д. (рисунок 1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

Рисунок 1

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали – расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие дви­жение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией , второго – . Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рисунок 1, б). Из черте­жа видно, что её значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдёт встреча. Её значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения – отрезком OS (рисунок 2).

Рисунок 2

Тогда пло­щадь S прямоугольника OSO₁Т (она равна ) соответствует расстоя­нию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение , решив которое находим ОТ = 5 (ч).

Ответ: туристы встретятся через 5 ч.

Геометрический способ в решении текстовых задач отличается быстротой выполнения. Задачи на проценты, задачи на движение и совместную работу можно решать с помощью геометрии. И такое решение является неординарным и рациональным, а также позволяет экономить время и быстро находить правильный ответ. К тому же геометрический способ позволяет наглядно увидеть решение.

Схематический способ 

Решить задачу схематическим способом – значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Схематический способ решения задач – это старинный способ, его знали ещё до н.э. в Древней Греции во времена Пифагора, а в XVIII-XIX веках успешно использовали купцы при торговле смешанным товаром.

Задача 4. Родительский комитет детского сада решил закупить конфеты для новогодних подарков для 100 детей. Было решено сделать подарки на сумму 150 рублей. На оптовой базе они выбрали конфеты по цене 225, 135 и 180 рублей за килограмм. Каждая конфета в среднем весит 10 граммов. Сколько конфет каждого вида необходимо купить родительскому комитету?

Решим эту задачу схематическим способом, который разработал Л.Ф. Магницкий.

Запишем в столбик друг под другом цены двух сортов конфет в порядке возрастания: 135 р. и 180 р., в центре второго столбика запишем цену смеси конфет: 150 рублей. В третий столбик запишем модуль разности чисел 180 и 150, 150 и 135.

Получившиеся результаты разделим на НОД самих чисел 30 и 15, т.е. на 15, получим 2 части и 1 часть, эти результаты запишем в 4 столбик. Аналогично поступим с конфетами по 225р.

1 35 180-150=30 30:15 =2 части

150 НОД(15;30)=15

180 150-135=15 15:15 =1 часть

135 225-150 =75 75:15=5 частей

150 НОД(75;15)=15

225 150-135=15 15:15=1 часть

Мы получили две схемы, значит конфет по 135 р. необходимо 2+5=7 частей, по 180 р. – 1 часть, по 225 р. – 1 часть.

Этот способ у Л.Ф. Магницкого называется «правилом крестика».

Эти части означают, что если на 100 детей распределить по 1 конфете массой 10 граммов, то потребуется 1 кг по 180 р., 1 кг по 225 р., 7 кг по 135 р.

Схематический способ решения текстовых задач также значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов.

Графический способ

Решить задачу графическим способом – значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Графическое изображение условия позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче, а также позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим. Особенно успешно можно применять этот метод при решении математических текстовых задач на движение и работу.

Задача 5. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Данную задачу можно решить арифметическим способом. Вычислим скорости автомобилей км/ч, км/ч, км/ч, часа.

Решим её графически. По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу.

Рисунок 3

Читаем с чертежа ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

Графическим способом можно решать задачи «на работу», только в большинстве случаев в процессе решения используется подобие возникших треугольников, которое изучается в 8 классе в курсе геометрии. Этот комбинированный способ можно назвать графико-геометрическим.

Табличный способ 

Решение задач табличным способом может существенно сэкономить время, затраченное на оформление и пояснения к действиям, тем более что многие задачи можно решить «не выходя» из таблицы. Главные достоинства этого способа – наглядность и эффективность.

Текстовые задачи на смеси и сплавы, на совместную работу удобнее решать табличным способом. В таблице прописываем формулу, необходимую для расчетов, и придерживаемся главного правила таблицы – если есть две известные величины, то обязательно находим третью.

Задача 6. Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 минут. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 часа. За сколько времени наполнится бассейн на своего объема только через одну вторую трубу?

Формула: .

Ответ: за 60 минут.

Заключение

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому можно отнести их к нетрадиционным.

Конечно, алгебраический способ – универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи и позволяет сократить время на решение текстовых задач при написании ВПР.

Арифметическим способом можно решать простые задачи 5-6 класса. В 6-7 классах уже используется более универсальный метод – алгебраический. Геометрический способ является неординарным и рациональным, отличается быстротой и наглядностью. Схематический способ значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов. Графический способ очень хорош при решении задач на прямолинейное движение.

Умение решать текстовые математические задачи различными способами несомненно сослужит учащимся хорошую службу при решении текстовых задач ВПР, а также пригодится в дальнейшем при сдаче ЕГЭ и ОГЭ.

3