Арифметическая прогрессия

МКОУ «Зургановская средняя общеобразовательная школа»

Урок алгебры

в 9классе

“Арифметическая прогрессия ”

Учитель математики:

Найминова Г.П.

Тема урока: «Арифметическая прогрессия».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: Изучение нового материала по теме и первичное закрепление изученного, формирование умений использовать ее характеристическое свойства и формулу n-го члена при решение задач.

Задачи урока:

• Образовательные –познакомить учащихся с понятием арифметической прогрессии ее характеристическим свойствам, с формулой n-го члена.

• Развивающие – развитие математической индукции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

• Воспитательные – воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально, понимать смысл поставленной задачи.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, ОАО "Московские учебники", 2010

План урока:

1. Организационный момент, постановка задачи

2. Актуализация знаний, устная работа

3. Изучение нового материала

4. Первичное закрепление

5. Подведение итогов урока

6. Домашнее задание

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний, устная работа.

Последовательность (x_n) задана формулой: x_n=n². Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

О последовательности (u_n) известно, что u₁=2, u_n+1=3u₁+1. Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности.

О последовательности (a_n) известно, что a_n=(n-1)(n+4). Как называется такой способ задания последовательности? Найдите n, если a_n=150?

III. Изучение нового материала.

Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия".

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Рассмотрим последовательности чисел:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.

• 11, 8, 5, 2, -1, :.

• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?

Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?

(Ответы учеников)

Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.

(Ответы учеников)

Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна (d0), то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (d=4)

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (dd=-3)

В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

:::::::::::::

a_n= a₁+d(n-1)

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность (c_n)-арифметическая прогрессия. Найдите c₈₁, если c₁=20, d=3

Воспользуемся формулой n-ого члена c₈₁=c₁+d(81-1)=20+3×80=260

Ответ: 260.

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.

Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть a_n - искомый член последовательности. Тогда a_n-a_n-1=a_n+1-a_n

2a_n=a_n-1+a_n+1

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего ( . И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

IV. Первичное закрепление.

• № 575 аб - устно

• № 576 авд - устно

• № 577б - самостоятельно с проверкой

Последовательность (c_n)- арифметическая прогрессия. Найдите c₂₁, если c₁=5,8 и d= -1,5

Воспользуемся формулой n-ого члена c₂₁=c₁+d(21-1)= 5,8+(-1,5)=-24,2

Ответ: -24,2.

№ 580 а

Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :

№584 а (самостоятельно)

Найдите первый член арифметической прогрессии (x_n), если x₃₀=128, d=4

Задача. Числовая последовательность задана формулой a_n=3+5_n, n=1,2,3…

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

1-й способ. Поскольку a_n+1=3+5(n+1) = 3+5_n+5=a_n+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы a_n+1=a_n+5 разность этой прогрессии равна 5.

2-й способ. Если последовательность является арифметической прогрессией, то должно выполняться характеристическое свойство:.

, , . Выполнив преобразования в обратную сторону для любого n, получаем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

Замечание. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a_n =kn+b где k и b - некоторые числа.

Задача 1. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. По условию x₇=1, x₄ – x₂ =1,. Заметим, что x₄-x₂=2d откуда d=0,5

По формуле n-ого члена, x₇ =x ₁+0,5×6 откуда x₁= -2

Ответ: -2.

Задача 2.

Размеры одной обрешетки для сборки кибитки равны 1800 и 1400мм. При изготовления обрешетки использованы 22рейки разной длинны размер наименьшей 200мм, а наибольшей найдите сами. Вычислите размеры остальных реек, если они образуют арифметическую прогрессию.

V. Подведение итогов урока.

Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Домашнее задание.

Пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.

Творческое задание для сильных учеников: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что kвыполняются равенства и .