Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве.

Е сли через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 121). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох

и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат (рис. 122). Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ точка положительной полуоси; х = – ОМ₁, если М₁ точка отрицательной полуоси; х = 0, если М₁ совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) y точки М, а с помощью точки М₃ третья координата (аппликата) z точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату. На рисунке 123 изображены шесть точек А (9; 5; 10), В (4; – 3; 6), С (9; 0; 0), Е (4; 0; 5), Е (0; 3; 0), F (0; 0; – 3).

Е сли точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если М Оху, то аппликата точки М равна нулю: z = 0. Аналогично если М Охz, то у = 0, а если М Оуz, то х = 0. Если М Ох, то ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и z= 0 (например, у точки С на рисунке 123). Если М Оу, то х = 0 и z=0; если М Оz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты начала координат равны нулю: О (0; 0; 0).

Выполните задания:

1. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси. Если да, то укажите эту ось. D (5; 0; 0), K (6; 2; 7), T (0; 0; 3), S (9; 7; 0), B (0; 4; 0).

2. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости. Если да, то назовите ее. A (5; 2; 9), C (– 5; 2; 4), G (8; – 2; 0), V (0; 0; – 3), L (0; – 4; – 7).