Занятия математического кружка.
Занятие 1. Решение задач арифметическим способом
«Способ максимального предположения»
используется в задачах, в которых известно, что получится в результате двух разных случаев и необходимо найти исходные условия. Метод заключается в том, что допускается выполнение одного из случаев (обычно максимально возможного) и путём вычитания несостоявшихся случаев находится ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 40 зеркал наняли извозчика с условием, что за доставку каждого зеркала он получит 20 р., а за каждое разбитое в дороге зеркало он должен будет заплатить 100 р. Извозчик несколько зеркал разбил при расчёте получил 440 р. Сколько целых зеркал он доставил?
Решение.
1) Допустим доставлены все зеркала, тогда получено: 40 ·20 = 800 (р.);
2) За одно недоставленное зеркало теряется: 100 + 20 = 120 (р.);
3) Поскольку извозчик получил 440 руб., то потерял он: 800 – 440 = 360 (р.);
4) Следовательно, разбито: 360 : 120 = 3 (зеркала);
5) Доставлено в целости: 40 – 3 = 37 (зеркал).
Ответ. 37 зеркал.
«Способ с конца»
используется в задачах, в которых известен результат и порядок действий, и
необходимо найти начальные условия. Метод заключается в том, что на вопрос
задачи можно ответить, выполнив действия в обратном порядке
Задача 2.
Медведь с базара плюшки нес,
Но на лесной опушке
Он половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Шел, шел, уселся отдохнуть
И под «ку-ку» кукушки
Вновь половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Стемнело, он ускорил шаг,
Но на крыльце избушки
Он снова пол-остатка съел
И плюс еще полплюшки.
С пустой кошелкою – увы!
Он в дом вошел уныло...
Хочу, чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?
Решение.
Ответ. 7 плюшек.
|
| Присел 1-й раз | Присел 2-й раз | Присел 3-й раз |
| Было | 7 плюшек | 3 плюшки | 1 плюшка |
| Осталось бы, если бы он не съедал полплюшки | 3 плюшки и ещё полплюшк | 1 плюшка и ещё полплюшки | полплюшки |
| Осталось | 3 плюшки | 1 плюшка | нет плюшек |
«Способ пропорционального изменения»
используется в задачах, в которых входят величины, связанные прямой или обратной пропорциональной зависимостью. Метод заключается в том, что для нахождение одной неизвестной величины, известная уменьшается или увеличивается в определённое число раз.
Задача 3.
Для исполнения некоторой работы 24 человека должны работать ежедневно по 10 часов. По сколько часов должны работать 40 человек, чтобы выполнить эту же работу?
Решение.
1) Для выполнения всей работы надо затратить: 24 ·10 = 240 (чел. час.);
2) По сколько часов должны работать 40 человек, чтобы затратить 240 часов:
240 : 40 = 6 (час.);
Ответ. 6 час.
«Способ ложных положений»
используется в задачах, которых спрашивается найти число х, удовлетворяющее уравнению ax + b = c. Числа а, b и с заданы в условии1. Сделать первое предположение, вычислить возможный при этом результат. Сравнить полученный результат с данными задачи и найти разницу – первое отклонение.
2. Сделать второе предположение, вычислить возможный при этом результат. Сравнить полученный результат с данными задачи и найти разницу – второе отклонение. Решение задач арифметическим способом
3. Если оба результата одновременно больше или меньше необходимого в условии, то искомое данное находится следующим образом: Первое предположение умножить на второе отклонение, второе предположение умножить на первое отклонение и от большего произведения вычесть меньшее. Разделить полученную разность на разность отклонений.
4. Если при одном предположении результат получается больше необходимого, а при втором – меньше, то искомое данное находится следующим образом: Первое предположение умножить на второе отклонение, второе предположение умножить на первое отклонение. Полученные произведения сложить, разделить полученную сумму на сумму отклонений.
Задача 4. Летит стая гусей, а на встречу ей один гусь: «Здравствуйте, сто гусей!». Отвечает ему вожак: «Нас не сто. Вот если бы нас было столько, сколько есть, да еще столько, да пол столько, да четверть столько, да ты с нами, то тогда нас было бы сто». Сколько было гусей в стае?
Решение.
1) Пусть в стае 24 гуся, тогда всего: 24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 (гусей);
2) Пусть в стае 48 гусей, тогда всего: 48 + 48 + 24 + 12 + 1 = 133 (гуся);
3) 24 – первое предположение, 33 – первое отклонение; 48 – второе
предположение, 33 – второе отклонение;
4) (24 · 33 + 48 · 33) : (33 + 33) = 36 (гусей).
Ответ. 36 гусей.
Задача 5.
В одной корзине лежат яблоки, а в другой – груши. Число яблок в два раза больше числа груш. Когда из первой корзины взяли 2 яблока, а во вторую корзину добавили 7 груш, то яблок и груш стало поровну. Сколько всего фруктов было в корзинах вначале?
Решение.
1) Пусть в одной корзине 10 яблок, тогда груш – 5, после изменений станет 8
яблок и 12 груш, то есть яблок станет на 4 меньше, чем по условию;
2) Пусть в одной корзине 14 яблок, тогда груш – 7, после изменений станет 12
яблок и 14 груш, то есть яблок станет на 2 меньше, чем по условию;
3) 10 – первое предположение, 4 – первое отклонение;
14 – второе предположение, 2 – второе отклонение;
4) (10 · 2 – 14 · 4) : (2 – 4) = 18 (шт.) – яблок;
5) 18 : 2 = 9 (шт.) – груш.
Ответ. 18 яблок; 9 груш.
Задача 6.
В школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, средних и старших классах, если известно, что в начальных классах их в 3 раза больше, чем в старших, и в 2 раза меньше, чем в средних?
Решение.
1) Пусть в начальных классах 300 учащихся, тогда в старших классах – 100, а в
средних – 600. Всего получается 300 + 100 + 600 = 1000, то есть на 100 больше,
чем по условию;
2) Пусть в начальных классах 240 учащихся, тогда в старших классах – 80, а в
средних – 480. Всего получается 240 + 80 + 480 = 800, то есть на 100 меньше,
чем по условию;
3) 300 – первое предположение, 100 – первое отклонение;
240 – второе предположение, 100 – второе отклонение;
4) (300 · 100 + 240 · 100) : (100 + 100) = 270 (уч.).
5) 270 : 3 = 90 (уч.); 270 ∙ 2 = 540 (уч.)
Ответ. 270; 540; 90 учащихся.
2 364
20 905 
