Урок алгебры "Понятие степени с целым отрицательным показателем"

Легенда о шахматах

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель — его звали Сета — явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

— Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

— Да, повелитель …

А что было дальше?

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число,—сказал он в раздумье.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

18 446 744 073 709 551 615

Такова легенда. Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!

V= 12 000 000 000 000 куб. м

Вопросы:

Вопрос. О каком математическом понятии идёт речь в легенде?

Ответ. О степени.

Вопрос. Что называют степенью?

Ответ. Произведение n одинаковых множителей, равных a .

Вопрос. Как называют a и n ?

Ответ. n –показатель степени, a – основание степени .

Вопрос . Что можно сказать о виде числа n ?

Ответ . n – натуральное число.

Разминка

Давайте вспомним понятие степени и вычислим устно.

8

8

29

9

-3

1

"Не верь глазам своим" - сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

Тема урока:

Понятие степени с целым отрицательным показателем

Цель урока:

Познакомиться с понятием степени с целым отрицательным показателем и научиться применять ее при вычисле­ниях и преобразованиях.

Историческая справка

Отрицательные показатели степени ввел

еще в 15 веке математик Шюке.

Англичанин Джон Валлис впервые

рассмотрел вопрос о целесообразности

употребления отрицательных показателей.

Исаак Ньютон стал применять

их систематически. В одном из писем

в 1676 г. Ньютон указал:

"Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д.

пишут А2, А3 и т.д., так я ...

вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3и т.д."

Упражнение 1

Найдите закономерность и продолжите ряд чисел

...1000, 100, 10, ...

...1000, 100, 10, 1, ....

Упражнение 2

Представьте каждое из этих чисел в виде сте­пени числа 10:

..., 1000, 100, 10, 1, ….

... 10 3 , 10 2 , 10 1 , 10°,…

Подпишите под этими числами показатели сте­пеней:

… , 3, 2, 1, 0, ....

Ответы:

Представьте каждое из этих чисел в виде сте­пени числа 10:

..., 1000, 100, 10, 1,

… .

… .

... 10 3 , 10 2 , 10 1 , 10°,

3

2

1

Подпишите под этими числами показатели сте­пеней:

… , 3, 2, 1, 0, ....

Продолжив этот ряд, мы получим числа

… , 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, ….

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°.

Получим: = 10 -1 , = 10 -2 ...

Получается такая строка:

10 -3 , 10 -2 , 10 -1 , 10°, 10 1 , 10 2 , 10 3 ...

2

1

Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основани­ем? С любым?

Ответ. Кроме 0.

Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:

Вы узнали о том, что существуют степени с отрицательным показателем. Теперь закончим фразы:

1) Если

2) Если

Эта работа полезна тем, что учит обучающихся выделять основное в тексте.

Следующее упражнение целесообразно для формирования алгоритма вычисления значения выражений, содержащих степень с отрицательным целым показателем.

=a a a

a

…

a

n раз

n

…

n раз

Давайте ребята, для закрепление применения формул решим примеры.

-1

(

-3

(-

7

-1

2

Упражнение 3

Вычислите значение выражения:

Ответ:

Обучащиюмся предлагается проанализировать последовательность предложенных шагов, установить верную последовательность и обобщить алгоритм вычисления значений такого типа выражений (содержащих степень с отрицательным показателем).

1) Выполнить возведение в степень;

2) Выполнить действия с дробями;

3) Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями.

Верная последовательность выполнения шагов:

Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями;

Выполнить возведение в степень;

Выполнить действия с дробями.

Вопрос. Имеет ли смысл выражение 0 -5 ?

Вопрос. Теперь вы знаете, что число

является поло­жительным. А можно ли это число записать с положи­тельным показателем?

Ответ. Нет.

Так как основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

Вывод. 0 n имеет смысл только при положительных зна­чениях n.

Ответ. Можно. Оно равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе - степень с тем же основанием, но с противоположным показателем.

= = 5

1

Физкультминутка

ЕСЛИ У ВАС ЕСТЬ РОДНОЙ БРАТ, -

ПОХЛОПАЙТЕ В ЛАДОШИ

ЕСЛИ У ВАС ЕСТЬ РОДНАЯ СЕСТРА, -

ПОТОПАЙТЕ НОГАМИ

ЕСЛИ ВЫ ЛЮБИТЕ СОБАК, -

ПОГЛАДЬТЕ СЕБЯ ПО ГОЛОВЕ

ЕСЛИ ВЫ ЛЮБИТЕ КОШЕК, -

ПОТРИТЕ ЛАДОНИ ДРУГ О ДРУГА

ЕСЛИ ВЫ ЛЮБИТЕ ШОКОЛАД, -

ОБЛИЖИТЕ ГУБЫ

ЕСЛИ ВАМ ХОРОШО НА УРОКЕ, -

ВСТАНЬТЕ И ПОДОЙДИТЕ КО МНЕ

Групповая работа

Каждый ряд получает задание, связанное со здоровьем человека, так как на данный момент актуальной является проблема внедрения здоровьесберегающих технологий.

Восточная мудрость гласит: “Если ты думаешь на год вперед – посади семя. Если ты думаешь на десятилетия вперед, - посади дерево. Если ты думаешь на век вперед, воспитай человека”.

Человек – совершенство природы. Но для того, чтобы он мог пользоваться благами жизни, наслаждаться её красотой, очень важно иметь здоровье

1 группа «ВИТАМИНЫ»: упростите выражения и узнайте, какие витамины наиболее необходимы в ежедневном рационе человека.

2 группа «МИНЕРАЛЫ»: выполните действия и узнайте, какие минеральные вещества и микроэлементы необходимы нашему организму для полноценного развития

3 группа «ПРОДУКТЫ»: представьте выражение в виде степени и узнайте, в каких продуктах содержится наибольшее количество витаминов

Информация о витаминах

Тест со взаимопроверкой

Ответы:

Известный математик К. Вейерштрасс сказал:

«Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем

Домашнее задание

Творческое задание:

составьте математическую шифровку, используя степень с целым отрицательным показателем.

Диагностика эмоционального фона

Обучающимся предлагается проанализировать своё настроение и эмоциональное состояние после проведенного урока, результат данного анализа представляется в виде смайлика на полях тетради.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы обучающихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

Хронометраж урока:

Ознакомление с темой урока. Легенда о шахматах. 4 минуты

Актуализация опорных знаний – 3 минуты

Мотивация введения понятия. Изучение нового понятия с первичным закреплением. - 10 минут

Групповая работа с дальнейшим представлением её результатов. – 10 минут

Подведение итогов (тест с взаимопроверкой, анализ рефлексии, анализ домашнего задания) – 10 минут.

Резерв