Методическая разработка урока по математике «Понятие степени с любым рациональным показателем» .

Пояснительная записка

Изучение математики направлено на достижение, в первую очередь, целей интеллектуального развития студентов, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий раздел: «Корни, степени и логарифмы». Содержание раздела «Корни, степени и логарифмы» включает тему урока «Понятие степени с любым рациональным показателем» .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение степени с положительным и отрицательным дробным показателем, с целым показателем;

- свойства степени с любым рациональным показателем;

- понятие корня нечётной степени из отрицательного числа

- формулы сокращенного умножения

Уметь:

- определять основные свойства степенной функций в задачах;

-вычислять степени с любым рациональным показателем;

- решать прикладные задачи с применением степенных функций;

Тема урока : Понятие степени с любым рациональным показателем

• Образовательная цель:

  • систематизировать знания по пройденной теме;

  • проверить уровень изученного материала;

  • применить теоретический материал для решения задач.

• Воспитательная цель:

  • воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;

  • воспитывать культуру речи, аккуратность, внимание.

• Развивающая цель:

  • развивать мыслительную деятельность учащихся;

  • прививать интерес к предмету;

  • развивать любознательность.

Тип урока: урок повторения и обобщения материала

Вид урока: комбинированный урок

Методические приемы:

-ответы на вопросы;

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение математических и прикладных задач.

Межпредметные связи: физика, история

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация в Notebook, в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

II. Сообщение темы и целей урока. Слайд 1

Ребята, какую тему мы изучали в течение нескольких последних уроков?

(Функции у=ⁿ√х, их свойства и графики.)

Сегодня мы проведём урок повторения и обобщения знаний по теме " Понятие степени с любым рациональным показателем ". Ребята, обратите внимание на задания, которые мы будем решать на уроке, подобные им могут встречаться в контрольной работе.

2.1 Актуализация опорных знаний

Вспомним теорию. Слайд 2

Дополните предложения:

1. Степень с целочисленным показателем это - :произведение n одинаковых множителей

2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями:показатели складываются

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями :показатели вычитаются

4. Степень степени равна:произведению показателей

5. Степень числа а, не равного нулю с нулевым показателем равна :1

6. Степень произведения равна :произведению степеней

7. Степень дроби равна :дроби степеней

8. Степень с дробным показателем m\n есть:

9. Степень с любым показателем p\q есть:

2.2.Обобщение и закрепление пройденного материала.

1. Степень с целым показателем. Слайд 3

Выражение называется степенью с натуральным показателем. Ясно, что Число a называется основанием степени, а n - показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая -квадратом. Первой степенью называется само число a.

В параграфе 1.1.2 было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Пусть a - любое действительное число; n - натуральное число, большее единицы. n-й степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, чтоa¹ = a. Число a называется основанием степени, число n - показателем степени.

Справедливы следующие свойства степени:

1. aⁿ · a^k = aⁿ + k.

2. aⁿ : a^k = aⁿ - k, если n  k.

3. (aⁿ)^k = a^nk.

4. aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.

5. 

Например, 

По определению полагают, что a⁰ = 1 для любого . Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если  n - натуральное число, то 

Справедливо равенство Например, 

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель:

Пример 1

Преобразовать в дробь степень 

Решение

Возведение рациональной дроби в отрицательную степень происходит по следующей формуле: 

Пример 2

Преобразовать в дробь степень

Решение

2. Корень n-й степени Слайд 4

Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа и обозначается  При этом число a называется подкоренным числом, а число n - показателем корня.

Вместо слова "корень" часто говорят радикал. Если n = 2, то обычно пишут просто: При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем, при n = 3 говорят о кубическом корне.

Итак, по определению: 

Отсюда следует, что Например, 

При справедливы следующие свойства корней.

Если a то не существует такого действительного x, при котором бы выполнялось равенство Следовательно, невозможно ввести понятие корня чётной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пустьa n - нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что Это число и называется корнем нечётной степени из отрицательного числа. Оно обозначается точно так же: Например, так как Для нечётных показателей степени свойства, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений, верны также и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Пример 1

Упростить: 1) 2) 3)

Решение

Пример 2

Упростите выражения 1) 2) 3)

Решение

Пусть теперь По определению полагают, что 

Если же a  0, то по определению полагают, что 

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пример 1

Вычислить 1) 2) 3)

Решение

Слайд 6.Пусть a  0, b  0, r, s ? любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^r + s.

2. a^r : a^s = a^r - s. 

3. (a^r)^s = a^rs.

4. a^r · b^r = (ab)^r.

5. 

Пример 2

Упростите выражения 1) 2)

Решение

1) 2) Ответ. 1) 2) x – y. 4.Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = xa, x  0. Слайд 7. Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x. К основным свойствам степенной функции y = xa при a  0 относятся: Область определения функции - промежуток (0; +). Область значений функции - промежуток (0; +). Для любых a график функции проходит через точку (1; 1). Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то  График степенной функции при a  0 изображён на рисунке. Слайд 8 Степенная функция y = xa при a  0 Степенная функция y = xa при a  К основным свойствам степенной функции y = xa при a  Область определения функции - промежуток (0; +). Область значений функции - промежуток (0; +). Для любых a график функции проходит через точку (1; 1). Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то график степенной функции при a  Справедливы следующие свойства степенной функции: если n  k. на участке x  1, если  на участке 0 x  III.Формирование умений и навыков. Отработка изученного материала Ответить на вопросы в виде теста (самостоятельная работа) Чему равно значение выражения Начало формы a 1 0 Не определено Выражение равно: Начало формы Не определено 1 0 −1 Значение выражения равно: Начало формы не определено −253 253 Отметьте несуществующее понятие. Начало формы Кубический корень Квадратичный корень Квадратный корень Корень третьей степени Выражение не определено при: Начало формы a  0 a ≥ 0 a  a ≤ 0 Выражение не определено при: Начало формы a  0 a ≥ 0 a  a ≤ 0 Выражение равно: Начало формы Это выражение не определено 2. Выполнить самостоятельно задачи Представьте себе, что вы попали в Алмазный Фонд нашей страны. И вам побольше хотелось бы узнать об алмазах. Вот этим и займёмся на уроке. Задание 1. Выполните вычисления. Запишите в таблицы буквы, связанные с найденными ответами. Б 491\2= 7 Й 810,5= 9 Ы 321\5= 2 С 82\3= 4 Е 10001\3= 10 Н 00,2= 0 П 0, 00161\4= 0.2 Л 1-0,6= 1 И 16- 1\2= 0,25 З 16 -0,25= 0,5 О (8\27)1\3 = 2\3 Д 163\4= 8 М ( 5 )0,25 = 1.5 А 251,5=125 Название 125 1 1, 5 125 0, 5 А Л М А З произошло от греческого слова 125 8 125 1,5 125 4 А Д А М А С что в переводе означает 0 10 0.2 2\3 7 10 8 0.25 1, 5 2 9 Н Е П О Б Е Д И М Ы Й и отражает одно из его главных свойств - наивысшую твёрдость. IV.Домашняя работа 1.Конспект 2. Решить уравнение 1. Упростите выражение 2. Вычислите Конец формы Конец формы Конец формы Конец формы Конец формы Конец формы Конец формы 2.Вычислите 3.Упростите выражение ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» . Методическая разработка урока по общеобразовательной дисциплине «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» на тему Понятие степени с любым рациональным показателем Разработала: преподаватель математики Клещина Наталья Вячеславовна Липецк 2015 Интернет-ресурсы: www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения". www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики. www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе: – библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект; – библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных ресурсов; – руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе; – подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов. www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников. http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам. http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.