Учебный проект " Геометрия на клетчатой бумаге"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15 с углублённым изучением отдельных предметов имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны » Энгельсского муниципального района Саратовской области

Муниципальная научно-исследовательская конференция «Первые шаги в науке»

Проект: Геометрия на клетчатом листе.

Проект выполнили:

ученицы 9Б класса

Павлова Алёна и Скакалкина Анна

МОУ «СОШ №15»

г.Энгельса Саратовской области

Руководитель:

Затеева Валентина Павловна,

учитель алгебры и геометрии

МОУ «СОШ №15»

Содержание.

• Актуальность темы.........................................сл.3
• Цель и задачи проекта...................................сл.4
• Свойства квадрата..........................................сл.5
• Для чего нужна тетрадь в клетку?.................сл.6
• Могут ли клетки помочь с вычислением площадь многоугольника?.............................................сл.10
• Формула Пика.................................................сл.13
• Решение задачи..............................................сл.14
• Задачи..............................................................сл.15
• Ответы и решения...........................................сл.16
• Игры на клетчатом листе................................сл.18
• Вывод...............................................................сл.21
• Источники информации..................................сл.22

Актуальность темы.

• Мы выбрали именно эту тему, потому что нам стало интерестно, почему же мы используем тетрадь именно в клетку для геометрии. Ведь существует много видов тетрадей: в клеточку, в линеечку, в ромбик , в кружочек. Но на уроках математики мы используем именно тетрадь в клетку. В ней мы решаем различные задачи и строим геометрические фигуры. И мы хотим выяснить, помогает ли клетка при выполнении таких заданий?

Цель и задачи проекта.

• Цель: выяснить, помогает ли клетка в выполнении математических построений и вычислений.
• Задачи:
• 1. Узнать свойства клетки как геометрической фигуры.
• 2. Научиться решать геометрические задачи с помощью свойств клетки.

Свойства квадрата.

Для того, чтобы понять, почему тетрадь по математике в клетку, мы решили узнать побольше о квадрате. Мы нарисовали квадрат.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Следовательно, у квадрата есть 3 основных свойства:

• Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
• Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Для чего нужна тетрадь в клетку?

Тетрадь в клетку очень удобна для занятия геометрией. Она помогает при построении различных геометрических фигур, перпендикулярных и параллейных прямых, а также окружностей без циркуля.

Могут ли клетки помочь с вычислением площадь многоугольника?

• Оказывается, могут. Давайте разберём, как же клетки могут помочь нам.
• В качестве единицы площади можно рассматривать и клетку.
• Нарисуем многоугольник с вершинами в узлах клеток и найдем его площадь. Это можно сделать разными способами.

• Этот способ вычисления площади легко применим для многоугольников несложной конфигурации. Если же многоугольник более причудливый ,то есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Георг Александр Пик.

• Георг Александр Пик — австрийский математик. Им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Формула Пика

• Теорема Пика. Пусть L — число целочисленных точек внутри многоугольника, B— количество целочисленных точек на его границе, S— его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
• S=L+B/2-1

Формула Пика(полное доказательство)

Решение задачи.

• Найдите площадь четырёхугольника АВСD.
• Решение: Для многоугольника на рисунке L=23 (желтые точки), B=7 (синие точки, не забудьте о вершинах!).По формуле Пика:
• S=L+B/2-1=23+7/2-1=25,5 квадратных единиц.
• Ответ=25,5квадратных единиц.

Задачи.

• Найдите площадь параллелограмма АВСD.(рис.1)
• Найдите площадь четырёхугольника АВСD.(рис.2)

Ответы и решения.

1) Решение:

L=6,B=6; по формуле Пика:

S=6+6/2-1=8 (см 2 )

Ответ:8 см 2

2) Решение:

L=5,B=7;по формуле Пика:

S=5+7/2-1=7,5(см 2 )

Ответ:7,5см 2

Игры на клетчатом листе.

• А вы знали, что на клетчатом листе можно играть в разные логические игры. Мы уверены, что да. Вот несколько таких игр:
• Крестики-нолики.
• Морской бой
• Бридж-ит.
• Точечки

Вывод.

В ходе создания проекта мы изучили свойства клетки как геометрической фигуры. С их помощью мы научились на клетчатой листе:

- строить перпендикулярные и параллельные прямые;

- строить различные геометрические фигуры;

• вычислять площади многоугольников с вершинами в узлах клеток;
• Анализируя все полученные результаты, мы сделали вывод: тетрадь в клетку помогает в математических построениях и вычислениях.

Источники информации.

• http://pandia.ru/text/78/382/600.php
• http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika /
• https://ru.wikipedia.org/wiki/ Пик,_Георг