Учебный проект. Геометрия на клетчатой бумаге.

Проектная работа по геометрии на тему: «Геометрия на клетчатом листе»

Подготовили:

ученицы 8Б класса

МБОУ «СОШ №15 им.М.Расковой»

Щербинина Екатерина и

Махрова Екатерина

Преподаватель:

Затеева Валентина Павловна

Содержание:

• Актуальность темы....................................................сл.3
• Исторические факты о тетрадях…………………………..сл.4-5
• Цель и задачи проекта..............................................сл.6
• Свойства клетки как квадрата..................................сл.7
• Использование тетради в клетку в геометрии……….сл.8-12
• Формула Пика...........................................................сл.13-15
• Решение задач..........................................................сл.16-18
• Игры на клетчатом листе..........................................сл.19-23
• Клетка для развития детей…………………………………..сл.24-26
• Вывод.........................................................................сл.27
• Источники информации.............................................сл.28

Актуальность темы.

Мы выбрали именно эту тему, потому что стало интересно, почему же мы для работы по геометрии используем тетрадь именно в клетку. Ведь существует много видов тетрадей: в клеточку, в линеечку, в ромбик, в кружочек. Но почему-то именно в тетради в клетку мы решаем различные геометрические задачи и строим геометрические фигуры. Мы хотим выяснить, помогает ли клетка при выполнении таких заданий и как еще можно использовать тетрадку в клетку?

Исторические факты о тетрадях.

Школьные тетради в России появились очень давно. В древнерусском языке слово тетрадь известно с XI века, так книжники называли четыре листа пергамента, сшитые вместе (от греческого tetras «четвертая часть листа» или tetro «сложенный вчетверо».) Но пергамен был дорогим материалом, и для школьных занятий его, конечно, не использовали. В школе раньше писали на бересте - на деревянных дощечках, залитых воском.

Позже у школьников появились маленькие доски в деревянной рамке. Сколько было школьников, столько и досок. Буквы на них выводили грифелем, то и дело, пуская в ход тряпочки - не хватало места «для новых страничек».

В городе Мышкин Ярославской области, есть единственный в России музей школьных тетрадей. В коллекции - диктанты, изложения, математические примеры, и современные и написанные несколько веков назад.

Всего в коллекции музея около тысячи тетрадей по самым разным предметам.

Исторические факты о тетрадях.

Такая бумага, какой мы её знаем сегодня появилась в России только в середине XVI века, но расцвет бумажного производства наступил при Петре Первом. По его указу были построены первые предприятия по производству бумаги под Москвой и Санкт-Петербургом.

Тетради отечественного производства появились в России только в начале XVIII века.

В Советском Союзе у всех школьников были одинаковые тетради.

Сегодня же в магазинах – огромный выбор тетрадей, в том числе и тетрадей в клеточку.

Такая бумага, какой мы её знаем сегодня появилась в России только в середине XVI века, но расцвет бумажного производства наступил при Петре Первом. По его указу были построены первые предприятия по производству бумаги под Москвой и Санкт-Петербургом.

Цель и задачи проекта:

• Цель: выяснить, помогает ли клетка в выполнении математических построений и вычислений.
• Задачи:

1. Узнать свойства клетки как геометрической фигуры.

2. Научиться решать геометрические задачи с помощью свойств клетки.

Свойства клетки как квадрата.

• Для того, чтобы понять, почему тетрадь по математике в клетку, я решила узнать побольше о квадрате. Я нарисовала квадрат.

Как мы знаем, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Следовательно, у квадрата есть 3 основных свойства:

• Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
• Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Использование тетради в клетку в геометрии:

Тетрадь в клетку очень удобна для занятия геометрией. Она помогает при построении различных геометрических фигур , при этом используются узлы клеток:

• Для построения перпендикулярных прямых:

Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

На рисунке прямая a⊥с

с

о

90

a

t

Для построение параллельных прямых.

Определение: две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

На рисунке прямые a∥t.

a

Окружность без циркуля

Известно, что для изображения окружности служит циркуль. Гораздо труднее нарисовать окружность без него. Для этого нужен опыт. Однако клетчатая бумага и здесь приходит на помощь.

Могут ли клетки помочь с вычислением площадь многоугольника?

Оказывается, могут. Давайте разберём, как же клетки могут помочь нам.

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге измеряется квадратными единицами: мм 2 , см 2 . Но в качестве единицы площади можно рассматривать и клетку .

Нарисуем многоугольник с вершинами в узлах клеток и найдём его площадь. Это можно сделать разными способами.

Разделим многоугольник на части и составим из них равновеликий многоугольник с вершинами в узлах клеток, стороны которого проходят по линиям. В полученном многоугольнике легко посчитать количество клеток , то есть площадь многоугольника.

Будем пользоваться следующими правилами:

• Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью. Такие многоугольники называются равновеликими .
• Если два многоугольника состоят из одинаковых частей, то они называются равносоставленными .
• Плоские равносоставленные многоугольники также являются равновеликими.

Этот способ вычисления площади легко применим для многоугольников несложной конфигурации. А если он выглядит более причудливо?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах клетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Формула Пика:

• Теорема Пика. Пусть L — число целочисленных точек внутри многоугольника, B — количество целочисленных точек на его границе, S — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S=L+B/2-1

Решение задачи:

Найдите площадь четырёхугольника АВСD.

Решение: Для многоугольника на рисунке L=23 (желтые точки), B=7 (синие точки, не забудьте о вершинах!).

По формуле Пика:

S=L+B/2-1 =23+7/2-1= 25,5 квадратных единиц.

Ответ: S=25,5 квадратных единиц.

Решение задачи:

Найдите площадь параллелограмма АВСD

Решение:

L=6,B=6; по формуле Пика:

S=6+6/2-1=8 (см 2 )

Ответ: 8 см 2

Решение задачи:

Найдите площадь четырёхугольника АВСD

Решение:

L=5,B=7;по формуле Пика:

S=5+7/2-1=7,5(см 2 )

Ответ: 7,5см 2

Игры на клетчатом листе.

А вы знали, что на клетчатом листе можно играть в разные логические игры. Мы уверены, что да. Вот несколько таких игр:

• Все игры на листе в клетку условно можно разделить на «территориальные игры», в которых предполагается сражение за территорию. Кроме азарта, они несут в себе несомненную пользу, развивая логическое мышление и внимание, на «лабиринты», игры на «создание слов»(«балда», «словомет», «чепуха»)

Игры на клетчатом листе.

Крестики-нолики.

Крестики-нолики — логическая игра между двумя противниками на квадратном поле 3 на 3 клетки или большего размера (вплоть до «бесконечного поля»). Один из игроков играет «крестиками», второй — «ноликами».

• Игроки по очереди ставят на свободные клетки поля 3х3 знаки (один всегда крестики, другой всегда нолики). Первый, выстроивший в ряд 3 своих фигур по вертикали, горизонтали или диагонали, выигрывает.

Игры на клетчатом листе.

Морской бой.

В игру «морской бой» играют два человека, которые по очереди называют координаты кораблей на карте противника. Если координаты заняты, то корабль или часть его «топится», а попавший имеет право сделать ещё один ход.

Игры на клетчатом листе.

Бридж-ит («перебрось мостик!»)

Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки.

Линии противников нигде не должны пересекаться.

Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета.

Так на рисунке выиграли «синие».

Игры на клетчатом листе.

«Точечки» - упрощенный бумажный вариант известной японской игры «Го». Игровым полем служит обычный лист бумаги в клеточку.

У каждого игрока должна быть ручка или карандаш своего цвета. По очереди игроки ставят точки в произвольных местах на пересечении клеток. Цель игры – захватить как можно больше бумажных владений. Территория считается захваченной, если она обнесена точками своего цвета. Точки должны располагаться друг от друга на расстоянии в одну клеточку по горизонтали, вертикали или диагонали. Захваченная территория закрашивается своим цветом или вокруг нее рисуется крепости.

Клетка для развития детей.

Клетка для развития детей.

Разрезание фигуры

Данный задания не имеют общего метода решения, что обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умение думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть они развивают мыслительные навыки в самом их широком понимании.

Задача: Фигуру разрезать на 4, равных по площади фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Клетка для развития детей.

Задача: На координатной плоскости постройте точки и последовательно их соедините

1) (2; -3), (2; -2), (4; -2), (4; -1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (-3; 2), (-4; 5), (0;8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7;0), (6; 2), (6; 2), (5; -3), (2; -3).

2) (4; -3), (4; -5), (3; -9), (0; -8), (1; -5), (1; -4), (0; -4), (0; -9), (-3; -9), (-3; - 3), (-7; -3), (-7; -7), (-8; -7), (-8; -8), (-11; -8), (-10; -4), (-11; -1), (-14; -3), (-12; -1), (-11;2), (-8;4), (-4;5).

3) (2; 4), (6; 4)

Выводы:

В ходе создания проекта мы изучили свойства клетки как геометрической фигуры. С их помощью мы научились на клетчатой листе:

- строить перпендикулярные и параллельные прямые;

- строить различные геометрические фигуры;

- вычислять площади многоугольников с вершинами в узлах клеток;

- играть в различные игры.

Анализируя все полученные результаты, мы сделали вывод:

тетрадь в клетку помогает в математических построениях, вычислениях, а также весело и интересно проводить свободное время.

Источники информации:

• Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.
• 2.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1984.
• 3.  Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика //
• Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
• 4. Нагибин Ф.Ф., Калинин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1988.
• 5 Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.
• http ://pandia.ru/text/78/382/600.php
• http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika /
• https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2017/09/05/volshebnye-svoystva-kletchatoy-bumagi
• http :// economka . kz / publ / kontrolnaja _ zakupka _2/ kanceljarskie _ tovary / tetrad _ shkolnaja _ v _ kletku /35-1-0-234
• http://aleks-6zklass.narod.ru/p11aa1.html
• И.Ф. Шарыгин , Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия»: учебное пособие для 5-6 классов – Смоленск: Русич,1995

Спасибо за внимание!!!