Технологическая карта урока по теме «Понятие предела функции в точке»

Учитель

Клепинина Неля Евгеньевна

Предмет

Алгебра и начало математического анализа

УМК

А.Г. Мордкович, П.В.Семенов

Класс

10 класс

Тема урока

Понятие предела функции в точке

№ урока по теме

1

Тип урока

Урок открытия нового знания

Место и роль урока в изучаемой теме

Данная тема изучается в главе 7 “Производная” в §39 “Предел функции”.

Цель урока

Формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.

Задачи урока

• ввести понятие предела функции в точке;

• ввести интуитивное понятие непрерывности функции;

• рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

• рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.

Планируемые результаты

Предметные умения:

• формирование интуитивного понятия”предел”;

• использование математических формул сокращенного умножения;

• выполнение арифметических преобразований;

• владение базовым понятийным аппаратом;

• применять и понимать математическую терминологию;

• владеть навыком построения графиков и их исследования;

• расширение представления о понятии предела функции в точке;

• обобщение изученного материала по конкретной задаче;

• расширение представления о практическом применении предела функции;

• систематизировать знания и умения по теме “предел функции в точке”.

Метапредметные умения:

• Познавательные УУД:

• осуществление анализа объектов с выделением существенных признаков;

• формирование умений обобщать, составлять алгоритм математических действий;

• выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

• построение логической цепи рассуждений.

• Регулятивные УУД:

• планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей, работа по алгоритму;

• оценка, выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и того, что ещё нужно усвоить;

• формирование способности адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения поставленной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения.

• Коммуникативные УУД:

• планирование учебного сотрудничества;

• умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;

• уметь слушать и слышать, понимание речи других, оформление внутренней речи во внешнюю;

• планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение цели и функций участников учебного процесса, способов взаимодействия; постановка вопросов;

• умение работать в коллективе, развитие диалогической речи;

• умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

• умение формулировать вопросы по домашнему заданию.

Личностные умения:

• формирование навыков самоорганизации;

• воспитание требований безопасности на рабочем месте;

• выработка учебной мотивации;

• готовность и способность учащихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

• формирование аккуратности и терпеливости;

• оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей);

• умение давать верную эмоциональную оценку своей деятельности на уроке;

• оценивать объем домашней работы.

Основные понятия темы

Функция, предел, непрерывность функции.

Формы обучения

Фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения

Словесные (эвристическая беседа, работа с учебником, дискуссия), наглядные.

Оборудование/ресурсное обеспечение урока:

Мультимедийный проектор, учебник, презентация.

Дидактическая структура урока

Деятельность учеников

Деятельность учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению планируемых результатов

Планируемые результаты

Предметные

УУД

Организационный момент

Дети рассаживаются по местам. Проверяют наличие принадлежностей.

Приветствует детей, проверяет их готовность к уроку. Настраивает на активную работу.

Личностные УУД:

- формирование навыков самоорганизации;

- воспитание требований безопасности на рабочем месте.

Мотивация и подготовительная работа

Настраиваются на работу. Приводят примеры.

Подготавливает к изучению нового материала, происходит мотивация изучения данной темы. Учитель предлагает различные варианты понятия “предела”, используемых в обыденной жизни.

Что вы понимаете под словом “предел”?

-формирование интуитивного понятия ”предел” .

Личностные УУД:

- выработка учебной мотивации;

Познавательные УУД:

- поиск и выделение необходимой информации;

Коммуникативные УУД:

- уметь слушать и слышать, понимание речи других, оформление внутренней речи во внешнюю,

- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение цели и функций участников учебного процесса, способов взаимодействия; постановка вопросов.

Пропедевтика решения функции в точке

Учащиеся внимательно изучают задание, совместно с учителем делают упражнения, записывая решение в тетради. Проводят анализ заданной функции, отвечают на вопросы учителя, строят график функции, анализируют результаты первой части задания. Вторую часть задания им предлагают решить уже известным способом. После этого анализируют получившиеся значения функции, сопоставляя их с графиком функции. Формулируют вывод по выполненному заданию.

Ученикам предлагается выполнить задание 1. Формулирует задание. Напоминает учащимся, как исследовать рациональную функцию, с чего начинать исследование, задает наводящие вопросы. Организует обсуждение способа решения задания. Проводит параллель с ранее изученным материалом. Побуждает к высказыванию своего мнения. На основе имеющегося исследования, строит на доске график функции в соответствии со свойствами исследуемой функции. Обращает внимание на слайд с анимацией движения точек сверху и снизу по графику функции.

Задание 1: Постройте график f(x)= . Найдите f(1,99); f(2,01); f(1,998); f(2,0001).

-использование уже имеющихся знаний на практике;

-использование математических формул сокращенного умножения;

- выполнение арифметических преобразований;

-владение базовым понятийным аппаратом.

Познавательные УУД:

-осуществление анализа объектов с выделением существенных признаков,

-выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий,

-выдвижение гипотез и их обоснование;

Регулятивные УУД:

-планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей,

-работа по алгоритму,

-оценка, выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и того, что ещё нужно усвоить;

Личностные УУД:

-готовность и способность учащихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

Коммуникативные УУД:

-умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации,

-инициативное сотрудничество в коллективе.

Изучение новой темы, этап первичного закрепления темы

Слушают объяснение учителя, задают вопросы, делают записи в тетради. Вместе с учителем выделяют свойства понятия предел функции в точке. Отвечают на вопросы учителя, вступают в беседу, проводят анализ исследования трех функций и с помощью учителя делают соответствующие выводы, что используется одна и та же запись .

Ученики отвечают на вопросы учителя, вступают в дискуссию, связанной с интуитивным представление непрерывности, вместе с учителем делают выводы по данному вопросу.

На основе вышесказанного учитель вводит понятие “предел функции в точке”, выделяет существенные свойства данного понятия, организовывает беседу с учащимися.

Учитель предлагает учащимся задание 2.

Последовательно задает вопросы ученикам с целью повторения таких ключевых моментов как: область определения функции, построения графика функции и т.п. Здесь же учитель вводит понятия непрерывной функции на интуитивном уровне, выслушивает ответы учеников о том, что в их понимании интуитивное представление о непрерывности. Для этого учитель анализирует данные о значении функции в исследуемой точке, о пределе этой функции при х стремящемся к этой точке.

Учитель формирует утверждение о том, что о непрерывности функций можно судить по области определения, но это утверждение не относится к функциям, заданным кусочно.

На данном этапе предложить задачи (3,4,5,6) для отработки темы.

Задание 2. Постройте график функции у=√ х, если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2 (рис.3)

Задание 3.

Задание 4.

Задание 5.

Задание 6.

• применять и понимать математическую терминологию;

• владеть навыком построения графиков и их исследования.

Коммуникативные УУД:

-умение вести диалог с учителем,

-владение формами устной речи - умение задать вопрос, привести довод при устном ответе;

Познавательные УУД:

-умение проводить анализ учебного материала,

-понимание информации, представленной в виде текста, рисунка,

-выбор наиболее эффективные решения поставленной задачи;

Регулятивные УУД:

планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей; работа по алгоритму;

Личностные УУД:

-формирование навыков самоорганизации.

Решение задач

С помощью наводящих вопросов учителя формируют ООД по каждому из заданий, конспектируют его в тетради.

Активно участвуют в обсуждении задач, задают вопросы, слушают мнения учителя и одноклассников.

Обосновывают выбор написания тех или иных действий на доске и тетради.

Проводят анализ заданий, оценивают свою подготовку по теме “предел функции в точке” на данном этапе.

Те учащиеся, которые в достаточной степени овладели материалом- выполняют дополнительные задания, предложенные учителем.

Формулируют выводы наблюдений по каждой задаче.

Объясняют выборочно план своих действий на конкретные задачи.

Для решения следующих задач формирует ООД по каждому заданию, задаёт вопросы по поводу алгоритма решения различных задач, связанных с пределом функции в точке, уточняет понимание учащихся темы наводящими вопросами.

Предлагает индивидуальные задания тем учащимся, которые усвоили данную тему и решают задачи быстрее остальных.

Осуществляет выборочный контроль.

Чтобы найти предел при графическом способе задания функции нужно:

1. Найти область определения заданной функции f(x) ( D(f ));

2. Определить, что является графиком заданной функции f(x) ;

3. Построить график заданной функции f(x);

4. Провести прямую x = a;

5. Приближаясь по графику к прямой слева и справа, понять, попадем ли мы в этом движении в одну точку.

6. Если да, то предел существует и равен ординате этой точки.

7. Если приближаясь по графику к прямой слева и справа, мы не попадем в одну точку, то предел данной функции не существует.

Задание 3 (39.18): Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74-81, имеет предел х→3? Чему равен этот предел?

Ориентировочная основа действий решения задания 39.18:

1. Внимательно изучить график функции;

2. Определить вертикаль, проведенную через точку x=a на оси Оx;

3. Приближаясь по графику к прямой x=a справа и слева, понять попадем ли мы в этом движении в одну точку;

4. Если да, то предел существует и равен ординатой точки;

5. Если приближаясь по графику к прямой слева и справа, мы не попадем в одну точку, то предел данной функции не существует.

Задание 4 (39.19): Постройте график какой-нибудь функции y = g(x), обладающей заданным свойством:

Ориентировочная основа действий решения задания 39.19:

1. Выявить прямую, проходящую через точку x=a;

2. Значение а будет абсциссой точки в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

3. Посмотреть на значение, которому равен предел. Это будет ординатой точки, в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

4. Отметить точку, в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

5. Построить график функции y = g(x), который проходит через отмеченную точку.

На данном этапе учащимся можно предложить сделать самостоятельно следующие задания: Постройте график какой-нибудь функции y = g(x), обладающей заданным свойством:

Задание 5 (39.20): Постройте график какой- нибудь функции y = f(x) , обладающий заданными свойствами:

Ориентировочная основа действий решения задания 39.20:

1. Выявить прямую, проходящую через точку x=a;

2. Значение а будет абсциссой точки в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

3. Посмотреть на значение, которому равен предел. Это будет ординатой точки, в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

4. Отметить точку, в которую мы попадем при движении по графику к прямой x=a справа и слева;

5. Построить график функции y = f(x), который проходит через отмеченную точку и соответствует дополнительному условию: а) если значение функции в точке равно какому-то числу, то график функции будет непрерывным; б) если значение функции в точке не существует, то выколоть данную точку на графике функции.

Также, для успевающих учеников можно предложить следующие задания:

Задание 6(39.21): На рис. 82 изображен график функции y = f(x).Найдите:

Ориентировочная основа действий решения задания 39.21:

1. Внимательно изучить предложенный график функции;

2. Определить прямую, к которой стремится график функции y = f(x) справа и слева;

3. Определить точку пересечения графика функции с вертикалью х=а;

4. Ордината данной точки и будет предел функции y = f(x) .

-расширение представления о понятии предела функции в точке;

-обобщение изученного материала по конкретной задаче;

-расширение представления о практическом применении предела функции;

-систематизировать знания и умения по теме “предел функции в точке”.

Личностные УУД:

-формирование аккуратности и терпеливости,

-умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи.

Познавательные УУД:

-формирование умения обобщать, составлять алгоритм математических действий; построение логической цепи рассуждений.

Регулятивные УУД:

-планирование, определение последовательности действий; работа по алгоритму; прогнозирование результата.

Коммуникативные УУД:

-планирование учебного сотрудничества,

-умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.

Закрепление темы, подведение итогов

Выполняют предложенные учителем задания у доски. Отвечают на вопросы учителя.

Предлагает выполнить задания. Формулирует условие задачи и объясняет ход действий при его выполнении. Вызывает учеников к доске. Отвечает на вопросы учащихся. Контролирует процесс у доски и выполнение работы у некоторых школьников.

Отмечает степень вовлеченности учащихся в работу на уроке.

Вопросы для подведения итогов:

-С какими понятиями мы познакомились на этом уроке?

-Какие существенные свойства понятия предела функции в точке вы можете назвать?

-Какую функцию называют непрерывной? Приведите примеры такой функции.

• умение нахождения предела функции, используя его график;

• владение построения графика функции на основе заданных свойств;

• владение базовым понятийным аппаратом;

• выполнение арифметических преобразований.

Личностные УУД:

- оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей).

Познавательные УУД:

- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Регулятивные УУД:

- саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию и к преодолению препятствий.

Коммуникативные УУД:

- умение работать в коллективе, развитие диалогической речи.

Рефлексия

Отвечают на вопросы учителя. Формулируют конечный результат своей работы на уроке. Называют основные позиции нового материала и как они их усвоили (что получилось, что не получилось и почему).

Учитель задаёт провокационные вопросы, вступает в дискуссию с учениками.

Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке.

1.Изменился ли ваш субъективный смысл слова «предел»? Если нет, опишите, какое оно? Если да, то что именно вы стали представлять по-другому?

2. Если известно, что функция определена в каждой точке отрезка, например, отрезка [1;5], значит ли это, что предел при х, стремящемся к любой из точек этого отрезка существует?

3. Если функция не является непрерывной в некоторой точке, что можно сказать о пределе функции при х стремящемся к этой точке?

4. Как бы вы оценили свою работу на уроке?

-повторение базовых понятий темы “Предел функции в точке”;

-владение понятийным математическим аппаратом;

-умение анализировать конкретную математическую задачу, выделяя последовательность действий.

Личностные УУД:

- умение давать верную эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.

Регулятивные УУД:

- оценивание учащимися собственной деятельности.

Познавательные УУД:

-структурирование полученной информации, анализ деятельности на уроке.

Коммуникативные УУД:

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Домашнее задание

Ученики записывают в дневники домашнее задание.

Если есть вопросы, школьники задают их учителю.

Дает комментарий к домашнему заданию, раздаёт карточки с заданием, отвечает на вопросы учащихся

Личностные УУД:

-оценивать объем домашней работы;

Коммуникативные УУД:

-умение формулировать вопросы по домашнему заданию.