Смотр знаний по геометрии, 8 класс.

Билет 1

1

Определение выпуклого многоугольника. Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого треугольника.

2

Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

3

На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Из­вест­но,

что ∠DMC = 60°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Билет 2

1

Какие углы называются смежными, вертикальными? Сформулируйте свойства смежных и вертикальных углов. Сделайте рисунок.

2

Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Билет 3

1

Сформулируйте определение и свойства параллелограмма.

2

Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла параллелограмма.

3

Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Билет 4

1

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

3

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы CN и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. 

Най­ди­те 

Билет 5

1

Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

3

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°. 
Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Билет 6

1

Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

3

В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD=4, BC=2, а её пло­щадь равна 90. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Билет 7

1

Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

3

Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Билет 8

1

Сформулируйте свойства площадей.

2

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

3

Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  BC  и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

Билет 9

1

Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности? Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

3

На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, вы­со­та фо­на­ря 4 м?

Билет 10

1

Определение трапеции. Виды трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.

2

Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

3

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке  ABC  ме­ди­а­ны  BK  и  AM  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

Най­ди­те  .

Билет 11

1

Определения прямоугольника, квадрата и их свойства.

2

Сформулируйте и докажите теорему о катете прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30⁰.

3

Най­ди­те угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° со­от­вет­ствен­но.

Билет 12

1

Определения ромба, квадрата и их свойства.

2

Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника.

3

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.

Билет 13

1

Определение подобных треугольников, коэффициента подобия.

2

Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

3

В тре­уголь­ни­ке  из­вест­но, что ,  - ме­ди­а­на, .

Най­ди­те .

Билет 14

1

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

2

Сформулируйте и докажите первый признак параллельности двух прямых.

3

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD из­вест­но, что , ,

,  . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Билет 15

1

Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? Сформулируйте теорему Пифагора. Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите первое следствие из аксиомы параллельных прямых.

3

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­наль AC в 2 раза боль­ше сто­ро­ны AB и ∠ACD = 139°. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Билет 16

1

Сформулируйте аксиому параллельных прямых, следствия из аксиому параллельных прямых.

2

Сформулируйте и докажите третий признак параллельности двух прямых.

3

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 80°, угол CAD равен 54°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Билет 17

1

Сформулируйте три признака равенства треугольников.

2

Сформулируйте и докажите второй признак параллельности двух прямых.

3

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 38. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

Билет 18

1

Сформулируйте признаки параллельных прямых. Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

3

Пе­ри­метр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Билет 19

1

Сформулируйте три свойства прямоугольных треугольников. Сделайте рисунок.

2

Сформулируйте и докажите теорему об углах при основании равнобедренного треугольника.

3

Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH=9 и HD=65. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 97. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Билет 20

1

Сформулируйте определение центрального и вписанного углов, теоремы о вписанном угле.

2

Сформулируйте и докажите свойство о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника.

3

Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.