"Простейшие вероятностные задачи"

Простейшие вероятностные задачи

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность находится как  P=m/n , где 

n  - число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента, а  

m  - число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи).

Но как найти эти загадочные исходы?

Проще всего пояснить на примерах * .

* Ссылка на очень полезный ресурс он вам поможет разобрать не понятные темы и подготовиться к сдаче ОГЭ Tutor Online: https://clck.ru/ND2uq

ВИДЫ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КЛАССИЧЕСКУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ

• Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
• Как найти вероятность в задачах про игральные кости?
• Как найти вероятность в задачах про выстрелы в цель?
• Как найти вероятность в задачах про станки?
• Как найти вероятность в задачах про цепи и схемы?

Основной вопрос в этих задачах:

Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?

Пример 1. 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О - выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так:  РР, ОР, РО и ОО  (соответственно, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем n=4. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию "орел выпадет ровно один раз", это комбинации  ОР и РО  и их ровно m=2. Тогда искомая вероятность равна P=m/n

P=2/4=1/2=0.5 Готово!

Пример 2. 

Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же:  РР, ОР, РО и ОО , n=4. А вот условию "оба раза выпала одна сторона" удовлетворяют другие комбинации:  РР и ОО , откуда m=2. Нужная вероятность равна P=2/4=1/2=0.5.

Как видим, все довольно просто.

Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый - выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут:  ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, чем в Примере2, а комбинаций возможных уже n=8 (кстати, они находятся по формуле  , где k - число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть:  их будет m=3. Тогда вероятность события 

P=m/n =3/8=0.375

Простейшие комбинаторные задачи

КОМБИНАТОРИКА 

это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

Начинают изучение с понятий 

• перестановок ,
• размещений,
• сочетаний  (с повторениями или без).

Наиболее известные правила комбинаторики

• правила суммы и произведения,

которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ: 

Пусть объект А мы можем выбрать из множества  m  способами, а объект В можно выбрать  n  способами, то объект «А+В» можно выбрать  m+n  способами.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике –  n  шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать  m+n  способами.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ

Пусть объект А выбирается  m  способами, объект В выбирается  n  способами, то оба объекта можно выбрать  mn  способами. Все очень просто – каждый из  m  способов выбора объекта А комбинируется с каждым из  n  способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

Пример.

Сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?

Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9∗10=90 чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА И ЧИСЛА ПЕРЕСТАНОВОК

Пусть имеется  n  различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число и состав объектов остается неизменными, меняется только их порядок).

Получившиеся комбинации называются  перестановками , а их число равно

=n!=1⋅ 2⋅ 3⋅...⋅ (n−1)⋅ n.

Символ  n!  называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1, 1!=1.

Факториал растет невероятно быстро (недаром он обозначается восклицательным знаком!), например,

10!=3628800,

50!=30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000.

Как найти факториал?

• умножать вручную,
• использовать функцию ФАКТР() в Excel

Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке.

Согласно формуле ниже, их должно быть ровно 

=3!=1⋅2⋅3=6, так и получается (вам не напоминает картинка табло игральных автоматов?).

Общая формула, которая позволяет  найти число перестановок  из  n  элементов, имеет вид (она же - формула для  факториала  числа n):

=n!=1⋅ 2⋅ 3⋅...⋅ (n−1)⋅ n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА СОЧЕТАНИЙ

Пусть имеется  n  различных объектов.

Чтобы найти число сочетаний из n объектов по k, будем выбирать комбинации из m объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений ).

Например, есть три объекта {1,2,3}, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} - это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}. Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид:

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 их будет 6.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА РАЗМЕЩЕНИЙ

Пусть имеется  n  различных объектов. Будем выбирать из них k объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок).

Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по k, а их число равно

Так как мы уже знакомы с  сочетаниями , то легко заметите, что чтобы найти размещения, надо взять все возможные сочетания, а потом в каждом еще поменять порядок всеми возможными способами (то есть фактически сделать еще перестановки). Поэтому число размещений еще выражается через число перестановок и сочетаний так:

Эта формула объединяющая три других  формулы комбинаторики  (размещений, сочетаний и перестановок).

Пример всех размещений из n=3 объектов (различных фруктов) в группы по k=2 с учетом порядка - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно

=3⋅(3−2+1)=3⋅2=6.

ЗАДАНИЕ.

У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

РЕШЕНИЕ.

Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!.

Получаем в итоге 5! / (2! · 3!) = (3 · 4 · 5) / (2 · 3) = 10.

ОТВЕТ: 10 способов.

ЗАДАНИЕ.

Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

РЕШЕНИЕ.

Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6: =15.

Далее независимо аналогичным образом выберем мужчин на вторую специальность:

Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек. Это может быть сделано 2 вариантами:

• 1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину 2 способами)
• 1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину 2 способами).

В итого получаем 15 · 28  (2 + 2) = 1680 способов.

ОТВЕТ: 1680 способов.

ЗАДАНИЕ.

В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

РЕШЕНИЕ. Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n=9, m=4. Число таких размещений находим по формуле: = n ⋅(n −1) ⋅( n −2) ⋅... ⋅(n − m +1 ).

Получаем:

=9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024

ОТВЕТ. 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человека.