Урок по теме «Простейшие вероятностные задачи»

Урок по теме «Простейшие вероятностные задачи»

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей,

научиться в процессе реальной ситуации определять

достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные

и несовместные события,

научить решать задачи из жизни, используя

классическое определение вероятности.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация по теме «Простейшие вероятностные задачи», экран.

План урока:

1) Организационный момент. Вступление учителя. Целеполагание. Мотивация.

2) Повторение пройденного материала.

- разгадывание кроссворда

3) Повторение алгоритма нахождения вероятности случайного события.

4) Совместное решение вероятностных задач

5) Решение заданий из вариантов ГИА. Групповая дифференцированная работа.

6) Отчёт групп о проделанной работе.

7) Домашнее задание.

8) Итоги урока. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, сообщение темы и цели урока.

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная

встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Казалось бы, тут нет места для математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать

себя при встрече со случайными событиями, прогнозировать наступление того или иного события, подсчитывая его вероятность.

А нашла ли своё отражение теория вероятностей в вариантах ОГЭ?

( конечно, № 10 посвящён именно этой теме.)

Поэтому цель нашего урока не просто научиться решать простейшие вероятностные задачи, но и подготовиться к выполнению этого задания на экзамене.

2. Повторение пройденного материала

Разгадав кроссворд, мы узнаем, кто из математиков придумал и впервые опубликовал классическую вероятностную схему и повторим все известные вам понятия о вероятности.

Вопросы кроссворда:

1. результат испытания.

2. событие, которое происходит всегда.

3. численная характеристика реальности появления того или иного события.

4. события, в наступлении которых нет преимуществ.

5. непредсказуемое событие.

6. всякое наступление события А означает ненаступление события В.

7. вероятность невозможного события.

8. вероятность достоверного события.

Визуализация на слайдах:

3. Повторение алгоритма нахождения вероятности случайного события.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1. число N всех возможных исходов данного испытания;

2. количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;

3. частное оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А). Значит Р(А) =

4. Совместное решение вероятностных задач.

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.

Поэтому Р(А) =

Ответ: 0,97.

2. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.

Решение. Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N(А)=1 происходит интересующее нас

событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события .

б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события .

в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события .

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,

наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события

Ответ: .

4. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому

N = 1000.

Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N(A) = 994.

Тогда

Ответ: 0,994.

Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события = {аккумулятор неисправен}. Тогда N(Ā)=6.

Имеем = Значит, P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.

Ответ: 0,994.

5.  Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз?      б) герб выпадет два раза? (слайд 13)

Решение. а) Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз.
Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. N = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. N(A) = 3.
Следовательно, 
б) Пусть В - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза.

Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. N(B) = 1.
Следовательно, 

Ответ: а) ; б) .

6. В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные.

Решение. Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное.

Ответ: 0.

7. Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России. (слайд 16)

Решение. Число всех исходов N = 45. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 18. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ: 0,4.

5. Решение задач в группах.

А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении.

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

Задачи . (все из сборника подготовки к ОГЭ.

№1. В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме «Механика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Механика»

Решение:

Под событием В будем понимать, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Механика».

m = 8, n = 50. Р(В) =   = 0, 16

ответ: 0,16

№2. В коробке лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 4 раза меньше, чем пакетиков с зеленым. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакетик окажется с зеленым чаем.

Решение:

Под событием Е понимаем, что случайно выбранный пакетик окажется с зеленым чаем.

Пусть пакетиков с зеленым чаем х, тогда пакетиков с черным чаем – 4х. Всего пакетиков 5х.

n = 5x, m = х. Р(Е) =   = 0,2

Ответ: 0,2

№3. В среднем из 1000 насосов, поступающих в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный насос окажется качественным.

Решение.

Событие D - один случайно выбранный насос окажется качественным.

m = 1000 – 6= 994. n = 1000. P(D) =   = 0,994.

Ответ: 0,994

№4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 7 со скрытым дефектом. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:

Событие А - купленная сумка окажется качественной.

m = 100, n = 100+7 = 107. Р(А) =     0,93.

Ответ: 0,93

№5. В группе туристов 30 человек. Их вертолетом в несколько приемов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом.

Решение.

Замечание: Решение этой задачи не зависит от того, каким рейсом полетит турист, т.к. вероятность вылета определенным рейсом не зависит от номера рейса. Она зависит от общего числа туристов и от числа туристов на этом рейсе.

Под событием В понимаем, что турист П. полетит первым рейсом.

n = 30, m = 6. Р(А) =   = 0,2

ответ: 0,2

№6. На борту самолета 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками разделяющими солоны. Остальные места неудобны для пассажиров высоко роста. Пассажир Е. высокого роста. Какова вероятность того, что при случайном выборе на регистрации пассажиру Е. достанется удобное место, если в самолете 300 мест.

Решение:

Событие С - при случайном выборе на регистрации пассажиру Е достанется удобное место.

m = 12 + 18 = 30, n = 300. Р(С) = 0,1

ответ: 0,1

№7. Научная конференция проводится 5 дней. Всего запланировано 75 докладов- первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятыми днями. Порядок докладов определяет жеребьевка. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:

Событие В - доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции.

1.Какое количество докладов остается на последний день конференции?

75 – 17   3 = 24 доклада на 2 последние дня

24 : 2= 12 докладов на последний день

m = 12, n = 75. Р(В) =   = 0,16

ответ: 0,16

6. Отчет групп о проделанной работе

7. Итоги урока

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.

8. Домашнее задание § 20; №20.1-20,4; файл с заданием из ОГЭ