Лекция по теме "Простейшие вероятностные задачи"

Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса

Преподаватель: Добрынина Н.В.

Лекция № 3

Тема: Простейшие вероятностные задачи.

Цели лекции:

• Ввести понятие случайного события и его вероятности;

• рассмотреть основные типы вероятностных задач.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.

Комплекс определенных условий, в результате реализации которых наблюдается явление, называется опытом или испытанием.

Е – опыт (испытание).

Явление, наблюдаемое в результате опыта, называется событием.

Событие – результат испытания.

А – событие.

Событие называется случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдет. Оно может либо произойти, либо нет.

Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Рассмотрим примеры событий и определим, являются ли они случайными?

А – меня завтра спросят на уроке; - случайное событие.

В – летом у меня будут каникулы; - не случайное событие;

С – мне сегодня встретится черная кошка. – случайное событие.

Попробуйте привести свои примеры.

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Вероятность – численная характеристика реальности появления того или иного события; - численная мера правдоподобности события.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, случайных величин, их свойств и операций над ними.

Рассмотрим пример: На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, неудовлетворяющих стандарту. Определить вероятность того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Е – выбор наудачу 1 подшипника;

А – подшипник стандартный.

Р(А) =(1000-30)/1000 = 0,97

Ответ: 0,97.

Математическая монета в теории вероятностей лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Имеет только 2 стороны, одна из которых называется «орел», а вторая «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Математическая монета считается симметричной, т.е. брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой».

Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими одинаково гладкими. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они округлены, то все округления должны быть одинаковыми. Отверстия маркирующие очки на гранях должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7. Выпадения всех граней равновозможны.

Рассмотрим несколько задач.

1. При бросании игральной кости вычислите вероятность следующих событий: выпало четное число очков; выпало число очков кратное 3.

Решение:

Е – бросок игральной кости.

А – выпало четное число очков.

В – выпало число очков кратное 3.

Всего вариантов выпадения очков на игральной кости равно 6. Четных чисел – 3. Чисел кратных трем – 2. Таким образом, получаем

Р(А) = 3/6 = 0,5

Р(В) = 2/6 =

Ответ: 0,5;

1. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе окажется цифра 5.

Решение:

Е – выбор наугад числа от одного до 100.

А – в выбранном числе есть цифра 5.

Чисел от одного до 100 – 100 штук. Цифра «5» есть в 19 из них. Таким образом получаем

Р(А) = 19/100 = 0,19

Ответ: 0, 19.

1. Маленькому Пете строго – настрого было запрещено заходить в папин кабинет. Однажды, когда родителей не было дома, Петя нарушил запрет и играл в папином кабинете. Разыгравшись, он уронил семь книг с полки. Уходя из кабинета, Петя поставил книги на полку в произвольном порядке. Какова вероятность того, что папа не узнает о Петином визите?

Решение:

Е – расстановка книг в произвольном порядке.

А – книги расставлены верно.

При произвольной расстановке семи книг число возможных исходов можно вычислить с помощью формулы перестановок:

Р_n = 7! = 5040

Из них только один исход благоприятствует Пете.

Поэтому вероятность того, что проступок Пети не будет обнаружен, равна Р(А) = 1/5040 ≈ 0,0002

Ответ: 0,0002.

1.  У продавца имеется 7 красных, 8 синих и 5 зеленых шаров. Вычислить вероятность того, что купленный шар окажется синим или зеленым.

Решение:

Е – покупка шара.

А – шар синий.

В – шар зеленый.

С – шар синий или зеленый.

Всего шаров 7+8+5=20

Р(А) = 8/20 = 0,4

Р(В)= 5/20 = 0,25

Т.к. С = А+В, то Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,25 = 0, 65

Ответ: 0,65.

1. В первой урне лежат 5 желтых и 3 красных шара, а во второй урне – 3 желтых и 7 красных. Из каждой урны вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся желтыми.

Решение:

Е – извлечение по 1 шару из двух урн.

А – из первой урны вынули желтый шар;

В – из второй урны вынули желтый шар;

С – из обеих урн вынули желтые шары.

Р(А) = 5/8 = 0,625

Р(В) = 3/10 = 0,3

Т.к. С = АВ, то Р(С) = Р(А) Р(В) = 0,625 * 0,3 = 0,1875

Ответ: 0,1875

1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение:

Е – выезд такси.

А – приехало желтое такси.

Всего машин 15 . Желтых такси 6. Таким образом, получаем

Р(А) = 6 / 15 = 0,4

Ответ: 0,4.

1. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Решение:

Е – выбор билета на экзамене.

А – в билете нет вопроса о грибах.

Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса о грибах, равна Р(А) = 23/25 = 0, 92.

Ответ: 0,92.

1.  Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

Решение:

Е – выбор подарка наугад.

А – достался пазл с машиной.

В задаче сказано, что все 20 пазлов распределяются случайным образом среди 20 детей, то есть все пазлы будут распределены. Обозначим через событие A то, что Володе достанется пазл с машиной. Число благоприятных исходов для события A равно 6 (всего 6 пазлов с машинами). Всего исходов 20, следовательно, искомая вероятность, равна:

Р(А) = 6/20 = 0,3.

Ответ: 0,3.

1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение:

Е – жеребьевка спортсменок.

А – спортсменка из Китая выступает первой.

В чемпионате принимает участие 20 − (8 + 7) = 5 спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

Р(А) = 5/20 = 0,25.

Ответ: 0,25.

1. Брошена игральная кость, найдите вероятность того, что выпадет нечётное число очков.

Решение:

Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпало нечетное число очков.

 На кости числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из них 3 нечетных - 1, 3, 5,
значит Р(А)=3/6=1/2=0,5.

Ответ: 0,5.

1. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Решение:

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Е – 3 подбрасывание 1 монеты.

А – выпало 2 орла и 1 решка.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка. Две монеты — уже четыре исхода:

Три монеты – 6 исходов.

Вот они:

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Таким образом, получим

Р(А) = 3/8 = 0,375.

Ответ: _0,375.

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Е – подбрасывание 2 игральных костей.

А – сумма выпавших очков равна 8.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6²=36.

А теперь — благоприятные исходы:

2+6

3+5

6+2

5+3

4+4

Получилось 5 благоприятных исходов.

_{Вероятность выпадения восьми очков равна} 

_{Р(А) = 5/36 = 0,14….}

Ответ: 0,14.

1. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

Решение:

Е – 4 выстрела в цель.

А – стрелок попал в цель 4 раза подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха  0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9*0,9. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9*0,9*0,9*0,9.

Таким образом, получаем

Р(А) = 0,9*0,9*0,9*0,9 = 0,6561

Ответ: 0,6561.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. Новоселов О.В. Комбинаторика и вероятность: учебн. пособие для слушателей подготовит. курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ, Красноярск, 2009. – 78 с.

2. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика. Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2-е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001, 110 с.

3. https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/teoriya-veroyatnostej-na-ege-po-matematike/

4. https://www.matburo.ru/tv_book.php