Презентация по теме "Объем конуса. Объем усеченного конуса"

Объёмы тел вращения. Объём конуса. Объём усеченного конуса.

Данную работу выполнили: Каторкина Елизавета

Жулина Елизавета

Ученицы 11 «Б» класса

Руководитель: Мартынова Екатерина Владимировна

Определение конуса и его виды

• Конус — это тело, получающееся при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов.
• Основание конуса - это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
• Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса.
• Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора): L 2 = R 2 + H 2
• Направляющая конуса - это кривая, которая описывает контур основания конуса.
• Боковая поверхность конуса - это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
• Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
• Высота конуса (H) - это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
• Ось конуса (a) - это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
• Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника - это диаметр основания конуса.
• Касательная плоскость к конусу - это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Свойства конуса

• Все образующие конуса имеют одинаковую длину.
• Конус образуется путём вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов на 360° или равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180°.
• При пересечении конуса любой плоскостью, параллельной его основанию, получается круг (коническое сечение). Образованная между основанием и данным кругом фигура — это усечённый конус.

Формулы вычисления площадей конуса. Формула нахождения объёма конуса

Площадь боковой поверхности (S b ) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

S b = πRL

Общая площадь поверхности (S p ) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

S p = πRL + πR 2

Чтобы найти объём конуса с высотой, равной h , и радиусом основания r вычисляют по формуле:

V = πr 2 h

Заметим, что πr 2 = S , где S – площадь основания конуса. Поэтому объём конуса с высотой, равной h , и основанием,

площадь которой равна S , вычисляют по формуле:

V = Sh

5 см

Приступим к решению задач

Найдите объём конуса, радиус основания которого равен 6 см, а высота – 5 см.

В

Решение:

Дано:

V = πr 2 h

Конус

V= π×6 2 ×5= 60π см 3

ОА=6 см(r)

ВО=5 см(h)

Найти:

V - ?

ОТВЕТ: 60π см 3

А

6 см

О

? см

Найдите высоту конуса, объём которого равен 24π см 3 , а радиус основания – 3 см.

Решение:

Дано:

V=πr 2 h

Конус

h =

V= 24π см 3

ОА= 3 см (r)

h = = 8 см

Найти:

ВО(h) - ?

ОТВЕТ: ВО(h) = 8 см

3 см

Определение усеченного конуса.

Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усеченного конуса

• Основаниями усечённого конуса являются два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Высотой называется отрезок, соединяющий центры оснований.

• Боковой поверхностью и образующими усечённого конуса считаются части соответственно конической поверхности и её образующих, заключённые между основаниями.

• Усечённый конус можно рассматривать как тело, полученное в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей меньшую боковую сторону.

Формула вычисления объёма усеченного конуса

Объём усеченного конуса можно вычислить по формулам:

V = (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 );

V = (S 1 + + S 2 ),

Где h – длина высоты усечённого конуса, r 1 и r 2 – радиусы оснований усеченного конуса, S 1 и S 2 – площади оснований усечённого конуса.

АЕ = AD – BC = 14 – 8 = 6 см. Рассмотрим ∆АВЕ – прямоугольный, т.к. ВЕ – высота треугольник равнобедренный = AE = BE = = 6 cм. 2. V = (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) V = (14 2 + 14×8 + 8 2 ) = 2π(196 + 112+ 64) = 744π cм 3 O 1 Дано: усечённый конус AD – 14 см(r 1 ) BC – 8 см(r 2 ) C В Найти: V - ? 45˚ А D E О ОТВЕТ: 744π см 3 " width="640"

Приступим к решению задачи

Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 8 см и 14 см, а угол

между его образующей и плоскостью большего основания равен 45˚.

Решение:

• Найдем АЕ в усечённом конусе.

Т.к. АВСD – равнобедренная трапеция =

АЕ = AD – BC = 14 – 8 = 6 см.

Рассмотрим ∆АВЕ – прямоугольный, т.к. ВЕ – высота

треугольник равнобедренный = AE = BE = = 6 cм.

2. V = (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 )

V = (14 2 + 14×8 + 8 2 ) = 2π(196 + 112+ 64) = 744π cм 3

O 1

Дано:

усечённый конус

AD – 14 см(r 1 )

BC – 8 см(r 2 )

C

В

Найти:

V - ?

45˚

А

D

E

О

ОТВЕТ: 744π см 3

Благодарим за внимание!