Презентация по алгебре для 7 класса: "Разложение многочленов на множители"

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 7 КЛАСС

Спицына Татьяна Петровна,

учитель математики БОУ г. Омска «СОШ № 151»

ВЫРАБОТАТЬ УМЕНИЕ РАСКЛАДЫВАТЬ МНОГОЧЛЕНЫ НА МНОЖИТЕЛИ

МНОГОЧЛЕНЫ

• МНОГОЧЛЕНОМ НАЗЫВАЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА НЕСКОЛЬКИХ ОДНОЧЛЕНОВ (5mn+3a-7dk 3 )

• МНОГОЧЛЕН, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ДВУХ ЧЛЕНОВ, НАЗЫВАЮТ ДВУЧЛЕНОМ (5 ac+4c, a 2 +b 2 )

• МНОГОЧЛЕН, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ТРЕХ ЧЛЕНОВ НАЗЫВАЮТ ТРЕХЧЛЕНОМ ( a+2b-3c,1-bc+4ab).

• ОДНОЧЛЕН СЧИТАЮТ МНОГОЧЛЕНОМ .

ОДНОЧЛЕН - ЭТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ И БУКВЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ( abc, 2d, 5, -7a 2 )

СПОСОБЫ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

• ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
• СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
• ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ
• ПРИМЕНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СПОСОБОВ

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки, например:

• 19 a - 38b = 19*a - 19*2b = 19(a - 2b)

2) 6ab + 3b - 12bc = 3b*2a+3b*1 -3b*4c =

3b (2a + 1 - 4c)

3) a(2b - 3)+b(2b - 3) = (2b - 3)(a + b)

4) 3a 2 b + 4b с 3 = b*3a 2 +b*4c 3 = b(3a 2 +4c 3 )

ВЫНЕСИТЕ ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЗА СКОБКИ

• 1) 2 x + 3 xy ; 2) 3 xy - 5 y ;
• 3) -7 xy + y ; 4) – xy – x ;
• 5) 5ab + 10a 2 ; 6) x(a + c) - x(a + b);
• 7) y(2a + 3b) - y(3a - b);
• 8) c 2 (3a - 7c) - c 2 (5a + 3c);
• 9) y(a + c) + x(a + c);
• 10) x(3a + c)-z(3a + c);
• 11) 2k(3k - 4) + (3k - 4);
• 12) a(b - c)+c(c – b)

ПРОВЕРЬТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

• 1) 2 x + 3 xy = x(2 + 3y) ;

2) 3 xy - 5 y = y(3x – 5) ;

3) -7 xy + y = y(-7x +1) ;

4) – xy – x = -x(y + 1) ;

5) 5ab + 10a 2 = 5a(b + 2a);

6) x(a + c) - x(a + b) = x(a + c – a – b) = x(c – b) ;

7) y(2a + 3b) - y(3a – b) = y(2a+3b-3a+b) = y(-a + 4b);

8) c 2 (3a - 7c) - c 2 (5a + 3c) =c 2 (-2a – 10c) = -c 2 (2a + 10c) ;

9) y(a + c) + x(a + c) = (a + c) (y + x) ;

10) x(3a + c) - z(3a + c) = (3a + c)(x - z) ;

11) 2k(3k - 4) + (3k - 4) = (3k - 4)(2k + 1);

12) a(b - c)+c(c – b) = (b - c)(a – c)

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

• объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена;
• вынести этот общий множитель за скобки

2 a + bc + 2b + ac = (2a + 2b) + (bc + ac) =

= 2(a + b)+c( а +b) = (a+b)(2+c)

РАЗЛОЖИТЕ НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

• 1)ax - ay + bx - by;
• 2) 5a + 5y + pa + py;
• 3) 2x + ac + cx + 2a;
• 4) 2x + 7y + 14 + xy;
•   5) ab + ac - 4b - 4c;
• 6) 3a - 3m – ay + my ;

7) ax + bx + cx + ay + by + cy

ПРОВЕРЬТЕ РЕЗУЛЬТАТ

• 1) ax-ay +bx-by = a(x-y)+b(x-y)= (x - y)(a + b);
• 2) 5a+5y +pa+py= 5(a+y)+p(a+y)= (a + y)(5 + p);
• 3) 2x +ac+cx+ 2a = 2(x+a) +c(a+x)= (a + x)(2 + c);
• 4) 2x +7y+ 14 +xy= 2(x+7)+y(7+x)= (x + 7)(2 + y);
• 5) ab+ac -4b-4c= a(b+c)-4(b+c)= (b + c)(a - 4);
• 6) 3a-3m -ay+my= 3(a-m)-y(a-m)= (a - m)(3 - y);

7) ax+bx+cx +ay+by+cy= x(a+b+c)+y(a+b+c)=

= (a + b + c)(x + y)

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ С КВАДРАТОМ

При разложении многочленов на множители применяются:

• Формула разности квадратов

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b);

• Формулы квадрата суммы, квадрата разности

(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (а - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

например:

• 25x 2 – 9 = (5x - 3)(5x + 3);
• (x +1) 2 = x 2 + 2x + 1; (5a - c) 2 = 25a 2 - 10ac + c 2 .

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ С КУБАМИ

• КУБ СУММЫ И КУБ РАЗНОСТИ

( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;

(a - b) 3 = a 3 _ 3a 2 b + 3ab 2 _ b 3 ;

• СУММА КУБОВ И РАЗНОСТЬ КУБОВ

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 );

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )

Например, используя формулу a 3 - b 3 :

27a 3 - b 3 = (3a - b)(9a 2 + 3ab + b 2 ).

РАЗЛОЖИТЕ МНОГОЧЛЕН НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ

• I . a 2 - b 2 =( a - b )( a + b )

1) 4x 2 - 1; 2) 1 - 9a 2 ;

3) 25 - 16c 2 ; 4 ) – n 2 + b 2 ;

5 ) 81x 2 - y 2 ;

• II. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ; (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

6 ) 4a 2 + 4ab + b 2 ; 7) 4a 2 - 4ab + b 2 ;

8) a 2 b 2 + 2ab + 1; 9) b 2 - 2a 2 b + a 4 ;

10) 9a 2 +6ab+b 2

ПРОВЕРЬТЕ РЕЗУЛЬТАТ

1) 4x 2 – 1 = (2 x - 1)(2x + 1);

2) 1 - 9a 2 = (1 - 3a)(1 + 3a);

3) 25 - 16c 2 = (5 – 4c)(5 + 4c) ;

4 ) – n 2 + b 2 = (b – n)(b + n);

5 ) 81x 2 - y 2 = (9x – y)(9x + y) ;

6 ) 4a 2 + 4ab + b 2 = (2a + b) 2 ;

7) 4a 2 - 4ab + b 2 = (2a – b) 2 ;

8) a 2 b 2 + 2ab + 1 = (ab + 1) 2 ;

9) b 2 - 2a 2 b + a 4 = (b - a 2 ) 2 ;

10) 9a 2 +6ab+b 2 = (3a + b) 2

ПРИМЕНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СПОСОБОВ

ПРИ РАЗЛОЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ ПОЛЕЗНО СОБЛЮДАТЬ ПОРЯДОК:

• ВЫНЕСТИ ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЗА СКОБКУ (ЕСЛИ ОН ЕСТЬ);
• ПОПРОБОВАТЬ РАЗЛОЖИТЬ МНОГОЧЛЕН ПО ФОРМУЛАМ;
• ПОПЫТАТЬСЯ ПРИМЕНИТЬ СПОСОБ ГРУППИРОВКИ (ЕСЛИ ПРЕДЫДУЩИЕ СПОСОБЫ НЕ ПРИВЕЛИ К ЦЕЛИ)

Например:

• 1) 2 a 2 – 2 = 2(a 2 - 1) = 2(a - 1)(a + 1) ;
• 2) x – y - x 2 + y 2 = (x – y) - (x 2 - y 2 ) =

= (x - y) - (x - y)(x + y) = (x - y)(1 – ( x + y) ) =

= (x - y)(1 –x – y)

РАЗЛОЖИТЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА МНОЖИТЕЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕСКОЛЬКИХ СПОСОБОВ  

• 1) 5x 2 - 45; 2) ax 2 - 4a;
• 3) 3ky 2 - 3k; 4) 3x 2 - 75a 2 ;
• 5) 5x 3 - 5a 2 x;

6) 5a 2 + 10ab + 5b 2 ;

7) ax 2 - 2axy + ay 2 ;

8) -6a 2 + 12ab - 6b 2 ;

9) -2x 2 - 8x - 8;

10) –a 2 + 8ab -16b 2

РЕЗУЛЬТАТ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

• 1) 5x 2 – 45 = 5(х – 3)( x +3) ;
• 2) ax 2 - 4a = a(x – 2)(x + 2) ;
• 3) 3ky 2 - 3k = 3k(y – 1)(y + 1) ;
• 4) 3x 2 - 75a 2 = 3(x – 5a)(x + 5a) ;
• 5) 5x 3 - 5a 2 x = 5x(x – a)(x + a);
• 6) 5a 2 + 10ab + 5b 2 = 5(a + b) 2
• 7) ax 2 - 2axy + ay 2 = a(x – y) 2
• 8) -6a 2 + 12ab - 6b 2 = -6(a – b) 2
• 9) -2x 2 - 8x – 8 = -2(x + 2) 2 ;
• 10) –a 2 + 8ab -16b 2 = - (a – 4b) 2

СПАСИБО ЗА РЕЗУЛЬТАТИВНОСТЬ!