Презентация к уроку: "Разложение многочленов на множители".

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

• Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
• Вынесение общего множителя за скобки
• Способ группировки
• Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения
• Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов
• Сокращение алгебраических дробей
• Тождества

Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х – 3 на многочлен х + 2.

(2х - 3) (х + 2) = 2х • х + 2х • 2 - 3 • х - 3 • 2 = = 2х ² + 4х - Зх - 6 = 2х ² + х - 6.

Итак, (2х-3) (х + 2) = 2х ² + х - 6.

Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части местами:

2х ² + х - 6 = (2х - 3) (х + 2). Такая запись означает, что многочлен 2х ² + х - 6 представлен в виде произведения более простых многочленов 2х - 3 и х + 2. Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители.

У бедимся в том, что разложение многочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим заниматься?).

Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2х - 3 = 0.

Вы справитесь с этим без труда: 2х = 3,

х = 1,5.

Уравнение х+2=0 имеет корень

х = -2.

А теперь решим уравнение

2х ² + х - 6 = 0,

Для таких уравнений имеется правило решения, но вы его пока не знаете. Как быть?

Воспользуемся полученным выше разложением многочлена 2х ² + х - 6 на множители:

2х ² + х - 6 = (2х - 3) (х + 2).

Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

(2 х - 3) (х + 2) = 0.

Теперь воспользуемся следующим фактом: если произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей равен нулю. Значит, либо 2х - 3 = 0, либо х + 2 = 0. Из уравнения 2х - 3 = 0 получаем х = 1,5. Из уравнения х + 2 = 0 получаем х = -2. Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и -2.

Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться нам для решения уравнений.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях .

Пример. Доказать, что для любого натурального числа n выражение п ³ + Зп ² + 2п делится без остатка на 6.

Решение. Пусть р (п) = п ³ + Зп ³ + 2п.

Если п = 1, то р(1) = 1 + 3 + 2 = 6. Значит, р(1) делится на 6 без остатка.

Если п = 2, то р(2) = 2 ³ + 3 • 2 ² + 2 • 2 = 8 + 12 + 4 = 24. Следовательно, и р (2) делится на 6 без остатка.

Если п = 3, то р(3) = З ³ + 3 • З ² + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Поэтому и р (3) делится на 6 без остатка. Но вы понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем:

п ³ + 3п ² + 2п = п(п + 1) (п + 2).

В самом деле

п(п + 1) = п ² + п, а

(п ² + п) (п + 2) = п ³ + 2п ² + п ² + 2п = п ³ + Зп ² + 2п.

Итак, р(п) = п(п + 1)( n + 2),

т. е. р (п) есть произведение трех идущих подряд натуральных чи c ел п, п + 1, п + 2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел — четное, т.е. делится на 2, значит, и произведение делится на 2. Итак, р ( n ) делится и на 2, и на 3, т. е. делится и на 6.

Все прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что п ³ + Зп ² + 2п = п (п + 1) (п + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множи­тели. К этому и перейдем: в каждой из следующих тем этой главы мы будем изучать тот или иной прием разложения многочлена на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим несколько примеров

Пример.

Разложить на множители многочлен:

а)2х + 6у;

в) 4а ³ + 6а ² ;

б)а ³ + а ² ;

г) 12а b - 18а ²b³ с;

д) 5а - 10а ³ + 15а .

Решение. а) 2х + 6у = 2 (х + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б)а ³ + а ² = а ² (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в)Здесь используем те же приемы, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2 ). Получаем:4а ³ + 6а ² = 2а ² • 2а + 2а ² •3 = 2а ² (2а + 3).

г)Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге получаем:

12 ab - 18а ² b³ с = 6 ab³ • 2Ь - 6 ab³ • Зас = 6 ab³ (2 b - Зас)

д) 5а -10а ³ + 15а = 5а ³ (а 2 - 2 + За).

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

1

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

2

Найти переменные , которые входят в каждый член многочлена , и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющих­ся ) показатель степени .

3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример. Разложить на множители:

2 x ( x -2) + 5(х-2) ² .

Решение.

Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2х (х - 2) + 5 (х - 2) ² = 2ху + 5 y 2.

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки: 2ху + 5у ² = у (2х + 5у).

А теперь вернемся к старым обозначениям: у (2х + 5у) = (х-2) (2х + + 5(х - 2))= (х - 2) (2х + 5х - 10) - (х - 2) (7 x - 10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую запись:

2х (х - 2) + 5 (х - 2) ² = (х - 2) (2х + 5 (х-2)) =

= (х-2) (2х + 5х- 10) = (х - 2) (7 x - 10).

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ

Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример.

Пример. Разложить на множители многочлен

2 a ² + 6 a + ab + 3 b .

Решение. Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена:

(2а ² + 6а) + (а b + З b ).

Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, а во второй группе — b , получим 2а (а + 3) + b (а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно вынести за скобки. В результате получим (а + +3) (2а + b ).

приведем еще раз решение, но уже без комментариев:

2а ² + 6а + а b + З b = (2а ² + 6а) + (а b + З b ) = 2а (а + 3) + b (а + 3) = (а + 3) (2а + b ). Объединение членов многочлена 2а ² + 6а + а b + З b в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет.

Проведем эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвертый:

2а 2 + 6а + а b + З b = (2а ² + а b ) + (6а + З b ) = =а(2а + b ) + 3 (2а + b ) = (2а + b ) (а + 3).

Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной.

Теперь объединим в одну группу первый и четвертый члены, а в другую — второй и третий:

2а ² + 6а + ab + З b = (2а ² + З b ) + (6а + а b ) = (2а ² + З b ) + а (6 + b ). Эта группировка явно

неудачна.

Пример. Разложить на множители многочлен ху - 6 + +Зх - 2у.

Решение.

Первый способ группировки :

ху-6 + 3х-2у = (ху-6) + (Зх - 2у).

Группировка неудачна.

Второй способ группировки :

ху - 6 + Зх - 2у = (ху + 3 x ) + + (-6-2у) = х(у + 3)-2(у + 3)= (у + 3)(х- 2).

Третий способ группировки :

ху-6 + 3х-2у = (ху- 2у) + (- 6 + Зх) = у(х-2) + 3(х-2) = (х-2)(у+ + 3).

Ответ:

ху - 6 + Зх - 2у = (х - 2) (у + 3).

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Любой из формул сокращенного умножения можно пользоваться как для сокращенного умножения многочлена на многочлен ( если применять формулы в том виде, в котором они были записаны ), так и для разложения многочлена на множители, если их переписать следующим образом:

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т. д. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим далее.

Пример. Разложить на множители двучлен .

Решение. Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое ? Это (х ² ) ² . Что такое ? Это (2у ² ) ² . Значит, имеем сумму квадратов (х ² ) ² + (2у ² ) ² . Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным произведением будет 2 • х ² • 2у ² , т. е. 4х ² у ² . Но его в примере нет. Что же делать?

Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, чтобы ничего не изменилось, тут же и вычтем: (х ² ) ² + (2у ² ) ² + 4х ² у ² - 4х ² у ² .

Это дает возможность сгруппировать первые три члена так, что выделится полный квадрат.

Приведем полное решение примера

=(х ² ) ² + (2у ² ) ² = ((х ² ) ² + (2у ² ) ² + 4х ² у ² ) - 4х ² у ² = (х ² + 2у ² ) ² - (2ху) ² = (х ² + 2у ² - 2ху) (х ² + 2у ² + 2ху).

В этом примере мы впервые применили метод выделения полного квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем.

СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби.

Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов Р и Q . При этом используют запись Р∕ Q ,где

Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Примеры алгебраических дробей:

Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее,

( многочлен 6х – 24х ² удалось разделить на 6х ² , при этом в частном получается х - 4); мы также отмечали, что

Но так бывает сравнительно редко.

Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении

обыкновенных дробей. Например, дробь можно заменить

целым числом 4, а дробь целым числом 5. Однако дробь

целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — общий множитель

числителя и знаменателя: .

Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители.

ТОЖДЕСТВА

Мы знаем, например, что

а ² - b ² = (а - b ) (а + b ),

х2-4х + 4 = (х- 2) ² ,

(а + b )с = ас + bc .

Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных..

• Такие равенства в алгебре называют тождествами. Левую и правую части тождества называют выражениями, тождественно равными друг другу (или просто тождественными). Например, а ² - Ь ² и (а - Ь) (а + Ь) — тождественно равные выражения. Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения

• В математике часто бывает так, что, используя некоторый термин, вдруг обнаруживают, что к новой ситуации он становится не очень приспособленным, требует уточнения. Это относится и к термину «тождество». Для работы с многочленами данное выше определение абсолютно точное.

А для работы с алгебраическими дробями в понимании этого термина понадобится корректировка, придется сделать некоторые уточнения. Рассмотрим алгебраическую дробь

Её можно сократить на х - 1 –

на общий множитель числителя и знаменателя

(1)

Является ли это равенство тождеством? Введя выше этот термин, мы отметили, что тождество – это равенство с переменными, верное при любых значениях переменных. Но про равенство (1) этого сказать нельзя, оно не имеет смысла при х – 1, при х – 2, т.е. оно верно уже не при любых значениях переменной х.

• Указанные значения не являются допустимыми для выражений, входящих в состав равенства (1). Если же ограничиться только допустимыми значениями переменной х , то при любых таких значениях равенство (1) окажется верным. Учитывая подобные ситуации, математики уточнили понятие тождества.

Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.

Равенство (1) – тождество.