Презентация на тему "Квадратные уравнения"

Решение неполных квадратных уравнений

ax 2 + bx + c = 0, а ≠ 0

Если b = 0 ,с = 0,

ах 2 = 0,

х = 0

Если b = 0, а с≠0,то

ax 2 + с = 0 ,

ах 2 = -с,

х 2 = -

Если b≠0, а с=0,то

ax 2 +bx=0 ,

х · (ах + b)= 0,

x = 0, ах + b = 0 ,

ах = - b ,

х = -

-

0,то

х = ±

-

корней

нет.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ :

1 вариант:

а)

б) ( х + 2) 2 + ( х -3) 2 = 13

2 вариант:

а) 2х + х 2 = 0

б) 49х 2 – 81 = 0

3 вариант:

а) 3х 2 – 2х = 0

б) 125 + 5х 2 = 0

Исторические сведения:

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

________________________________________________

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары:

Пусть было x обезьянок,

тогда на поляне забавлялось – .

Составим уравнение:

+ 12 = х

Ответ: х 1 = 16 , х 2 = 48 обезьянок.

История развития квадратных

уравнений:

Квадратные уравнения в Багдаде(9 век).

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Индии.

Квадратные уравнения в Европе 13 -17в.в.

Квадратные уравнения в Багдаде (9 век):

Впервые квадратные уравнения

появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путем, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод Ал-Хорезми почти алгебраический.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне:

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х 2 + х = х 2 ─ х =

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила, Почти все найденные до сих пор клинописные тексты, приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены, Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “ Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические

задачи ”.

Квадратные уравнения в Европе в 13-17 веках:

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были

Впервые изложены в 1202 году итальянским математиком

Леонардо Фибоначчи.

Общее правило решения квадратных

уравнений, приведенных к единому

каноническому виду а x 2 + bx + c = 0 ,было

Сформулировано в Европе лишь в 1544

Году немецким математиком

Михаэлем Штифелем .

Виды квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных

Уравнений (х 2 + х = а) умели решать Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду

a х 2 + bx + c = 0 , где а ≠ 0,дал индийский ученый Брахмагупта (7век).

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 веке учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Выводы:

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего

Египта. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне

(около 2 тыс. лет до н.э.). Некоторые виды квадратных уравнений,

сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский ( III век).

Правило решения квадратных уравнений дал индийский учёный

Брахмагупта ( VII век).

Общее правило решения квадратных уравнений было

Сформулировано немецким математиком М. Штифелем.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Ф. Виет .