Презентация к уроку "Первообразная и интеграл"

Первообразная и интеграл

Первообразная

• Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка

Пример:

Первообразной для функции на всей

числовой оси является , поскольку

Действие нахождения первообразной функции называется интегрированием.

Основное свойство первообразных

• Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

Геометрическая интерпретация

• Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.

y

x

№ 7(ЕГЭ профильный уровень). На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2; 4].

10

Неопределенный интеграл

• Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается :

,

где C – произвольная постоянная .

Правила интегрирования

Таблица первообразных

Определенный интеграл

В прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми ,

и графиком непрерывной неотрицательной на отрезке [ a;b ] функции , называется криволинейной трапецией

Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции.

который называют

определенным интегралом

от функции

по отрезку [a;b] и обозначают так:

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

• Для непрерывной функции

где F(x) – первообразная функции f(x).

Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a;b ] функции f(x) , осью x и прямыми x=a и x= b :

Площадь криволинейной трапеции

• Для непрерывной функции

где F(x) – первообразная функции f(x).

Площадь фигуры,

• Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что

для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

№ 7(ЕГЭ профильный уровень). На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

№ 7(ЕГЭ профильный уровень). На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция

— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

№ 7(ЕГЭ профильный уровень). На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция

— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры .

№ 7(ЕГЭ профильный уровень). На рисунке изображен график некоторой функции .Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл