Первообразная Интеграл
11 класс
« Алгебра и начала математического анализа»
Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b) , если на нем производная функции F(x ) равна f(x):
Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием .
Примеры
F (x)= (x 2 ) = 2x = f(x)
- f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
- f(x) = 6x 2 + 4; F(x) = 2x 3 + 4x
F (x)= (2x 3 + 4x) = 6x 2 + 4 = f(x)
- f(x) = 1/cos 2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos 2 x= f(x)
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.
где С – произвольная постоянная (const).
Примеры
F(x)
F(x)
f(x)
Таблица первообразных
f(x)
f(x)
F(x)
F(x)
Три правила нахождения первообразных
1 º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а G(x) –
первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x) .
2º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для kf .
3º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b –
постоянные, причем k ≠ 0 , то функция F(kx + b)
есть первообразная для f(kx + b) .
1
k
Определенный интеграл
– формула Ньютона-Лейбница .
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x) ,
и прямыми у = 0 ; х = а ; х = b .
Вычисление определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
y = f(x)
x = a
x = b
y
D
C
A
B
x
0
b
a
y = 0
Площадь криволинейной трапеции (1)
y = f(x)
x = a
x = b
y
A
B
y = 0
a
b
x
0
C
D
Площадь криволинейной трапеции (2)
y = f(x)
y = g(x)
y
D
C
M
P
b
x
a
0
A
B
Площадь криволинейной трапеции (3)
y = f(x )
y = g(x)
y
C
D
B
A
x
b
a
0
P
M
Пример 1
y = x 2
y = x + 2
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x 2 , y = x + 2 .
y
C
2
B
A
D
O
x
-1
2
Площадь криволинейной трапеции (4)
y = f(x )
y = g(x)
y
D
Е
B
C
A
x
b
с
a
0
y = (x – 2) 2
y = 2√8 – x
Пример 2
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y = (x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
D
C
A
B
4
0
x
8
2
Пример 2
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y = (x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0