Понятие вектора в пространстве. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Понятие вектора в пространстве Равенство векторов Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число

Параллельный перенос

Введём на плоскости декартовы координаты xОу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка А (х;у) переходит в другую точку А (х+a; y+b), где а и b постоянные, называется параллельным переносом;

Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Понятие вектора

В курсе планиметрии мы познакомились с векторами на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Отрезок, для которого указано, какой из концов считается началом, а какой — концом, называется вектором . Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами . Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Геометрически векторы изображаются направленными отрезками.

Направленный отрезок называется вектором .

Вектор характеризуется следующими элементами:

1) начальной точкой (точкой приложения);

2) направлением;

3) длиной («модулем вектора»).

Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается или . В

Векторы :

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.

Нулевой вектор — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления.

В

Обозначается:

На рисунке -нулевой вектор.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка , изображающего вектор. Абсолютная величина вектора .

Обозначается .

Два вектора называются равными , если они совмещаются параллельным переносом.

АВСD — параллелограмм,

Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если векторы и коллинеарны и их лучи сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными .

Обозначаются .

Если векторы и коллинеарны, а их лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными .

Обозначаются .

Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором.

Коллинеарные векторы

0, то векторы и сонаправленные, если k " width="640"

Свойство коллинеарных векторов

Если векторы и коллинеарны и , то существует число k такое, что , причем если k 0, то векторы и сонаправленные, если k

Правило треугольника

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство:

Рисунки иллюстрируют сложение коллинеарных векторов с помощью параллельного переноса.

Если при сложении векторов и по правилу треугольника точку А заменить другой точкой

А , то вектор заменится равным ему

вектором .

Правило параллелограмма

Если векторы и неколлинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм.

Диагональ параллелограмма есть сумма двух векторов и .

Свойства сложения векторов

Для любых векторов заданных в пространстве, справедливы равенства :

Переместительный закон

Сочетательный закон

Правило многоугольника применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов.

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

От произвольной точки О отложен вектор затем от точки А отложен вектор и, наконец, от точки В отложен вектор В результате получается вектор

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна ,причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при k

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор .

Свойства умножения вектора на число

Для любых векторов и и любых чисел k, m справедливы равенства:

Сочетательный закон

Первый распределительный закон

Второй распределительный закон

Домашнее задание

В тетраэдре ABCD точки М, N и К — середины ребер АС, ВС и CD соответственно, A В = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов:

а) , , , , , ;

б) , , , , .