Основные методы и приемы решения текстовых задач

НОУ ДО ИНСТИТУТ НОВЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теме: « Основные методы и приемы

решения текстовых задач»

Слушатель курсов повышения квалификации:

Крупкина Ольга Ивановна

Должность: учитель математики

Образовательное учреждение:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Центр образования № 49 г. Тверь

2021 – 2022 учебный год

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Задачи школьного курса математики 5

1.1. Математическая задача и ее структура 5

1.2. Роль задач в процессе обучения математике 6

Глава 2. Методы и приемы, способствующие формированию умения решать текстовые задачи 9

2.1. Решение задач арифметическими методами 9

2.2. Решение обратных задач 12

2.3. Решение задач алгебраическими методами 13

Заключение 17

Список литературы 18

Введение

Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умения, применять их на практике. Одной из основных и главных задач школы является формирование у обучающихся прочных знаний по математике.

Обучение математике должно обеспечить надежную основу, как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития для дальнейшего изучения математики в 5 – 11 классах.

За последние годы произошло значительное обновление содержания математики. Современное содержание математического образования направлено, главным образом, на интеллектуальное развитие школьников, формирование культуры и самостоятельности их мышления. Существенное усиление алгебраической и геометрической пропедевтики, включение системы содержательно – логических заданий, вопросов направлены на развитие познавательных процессов у обучающихся.

Известно, что на развитие познавательной активности и творческого мышления решающее значение оказывают уроки решения задач, ознакомление с различными методами, существующими в математических исследованиях, и закрепление их в практической деятельности. Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Задачи в обучении математике являются и целью, и средством обучения и математического развития учащихся. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся: уровень трудности задач, предлагаемых слабым учащимся, должен определяться требованиями программы; учащимся, уже достигшим этого уровня, целесообразно давать более сложные задачи.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей ее роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приемов решения этих задач.

Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Учителю надо планировать работу так, чтобы была возможность проводить «урок одной задачи», нельзя упускать такую возможность при повторении пройденного материала.

Для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами, чем несколько однотипных задач одним способом.

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.

Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению целей:

первая – помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой;

вторая – так развить способности ученика, чтобы он мог в будущем решить любую задачу школьного курса самостоятельно.

При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.

Глава 1. Задачи школьного курса математики

1. Математическая задача и ее структура

Что понимать под задачей? Задача – проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь.

Учителю необходимо формировать у обучающихся умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучать учащихся разнообразным математическим методам познания реальной действительности.

В учебной практике «задача» принимает более узкий смысл и определяет упражнение, требующее нахождение решения по известным данным с помощью определенных действий (умозаключений, вычислений, перемещение элементов и т.п.) при соблюдении определенных правил совершения этих действий.

Умения решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического образования.

Как правило, традиционные школьные математические задачи таковы, что требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по узкому вопросу программного материала. Поэтому роль и значение их исчерпывается в течение того непродолжительного вопроса программы.

Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию или установить, что такое преобразование в данных условиях (или в данной среде) невозможно.

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основных этапа:

- осмысление условия задачи (анализ условия);

- поиск и составление плана решения;

- осуществление плана решения;

- изучение (исследование) найденного решения.

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

1. Роль задач в процессе обучения математике

Наряду с изучением теории в школьном математическом образовании имеет место решение задач и упражнений. Решение задач имеет целью не только показать учащимся приложение изученной теории на практике, но и глубже осознать изученную теорию, способствует развитию логического мышления.

Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи – показатель обученности и развития учащихся.

Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познание реальной действительности.

Правильная постановка задач и упражнений в обучении математике во многом определяет современную методику преподавания, так как решение задач служит различным конкретным целям обучения.

Задачи могут использоваться:

– при введении в изучение новой темы;

– для самостоятельного установления учащимися какого–либо математического факта, подлежащего изучению или иллюстрации этого факта;

– для контроля знаний и самоконтроля;

– для развития интереса к математике;

– для приобщения учащихся к поисковой и творческой деятельности;

– для развития логического математического мышления.

Известно, что на развитие познавательной активности и творческого мышления решающее значение оказывают уроки решения задач, ознакомление с различными методами, существующими в математических исследованиях, и закрепление их в практической деятельности. Так, при изложении нового материала необходимо разбирать «ключевые задачи» по теме, способы их

решения и учить распознавать такие задачи, делать схемы их решения: ими можно пользоваться и на уроках и на контрольных работах.

При решении задач учащиеся имеют возможность в большей мере проявить самостоятельность, инициативу, чем при изучении теоретического материала. В связи с этим естественно и в методике преподавания математики большое место занимает методика обучению решению текстовых (алгебраических) задач.

При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико – материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

Воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения.

Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много работать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач, а овладение теми приемами и методами, которые позволят ученику решить ту или иную задачу.

Для выработки правильного понимания учащимися поставленной задачи, можно рекомендовать соблюдение следующих требований:

1. начинайте изучение условия задачи с аккуратно выполненных схем. Помните, что правильное графическое представление условия задачи

означают по существу четкое, ясное и конкретное представление о всей задачной ситуации в целом;

1. представьте ясно и детально все основное, связанное с данной задачей. Обстоятельно выясните, что дано, что надо найти; выделите при этом главное в тексте условия задачи и сконцентрируйте на нем своё внимание. Выделите на чертеже данные и искомые величины различными яркими цветами;

2. проверьте тщательно каждое выдвигаемое в процессе решения задачи положение контрольными вопросами вида: что это означает, какие имеются основание для данного утверждения, какую пользу можно извлечь из данного факта?

3. проверьте, однозначно ли сформулирована задача. Нет ли в условии задачи избыточных или недостающих данных?

Первое из этих требований, особенно важно при решении геометрических задач, где наглядный и четкий чертеж позволяет иной раз с первого же взгляда обнаружить возможные пути решения.

Немаловажную роль в успешном решении задач играет целенаправленность поиска решения, т.е. сознательное ограничение числа проб и ошибок, характерных для начальной его стадии.

Иногда учащийся не в состоянии самостоятельно проанализировать задачу и решить ее без помощи учителя. Однако в этом случае не следует сообщать ему готовое решение, а тем более заставлять школьника заучить данный в готовом виде способ действия.

При создании оптимальных условий, которые бы активизировали мыслительную деятельность учащихся при решении задач, весьма часто применяется особый дидактический прием, называемый системой подсказок. Система подсказок, состоящая из вспомогательных задач, вопросов и т.д., не подменяя мышление школьника, придает ему нужное направление, т.е. делает поиск решения целенаправленным.

Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.

Хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас не велик, то учитель, видя затруднения учащегося, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения.

Глава 2. Методы и приемы, способствующие формированию

умения решать текстовые задачи

В практической деятельности человеку часто приходиться решать разнообразные задачи. Учащиеся на уроках математики тоже решают различные практические задачи.

Цель использования текстовых задач – научить учащихся анализировать, рассуждать, обосновывать. Учитель должен научить рациональному выбору методов решения, для чего необходимо ознакомить учащихся с различными методами решения задач.

2.1. Решение задач арифметическими методами

Решение текстовых задач арифметическим путем – важное средство, с помощью которого можно научить способам рассуждений, выбору стратегии решения, анализу ситуации, т. е. развивать мышление учащихся.

При формировании умения решать задачи арифметическими методами необходимо организовать работу с учащимися следующим образом:

I. Учащимся надо дать возможность понять ситуацию, описываемую в задаче, осознать и запомнить ее содержание. Для этого следует обязательно поработать с текстом задачи:

– прочитать вслух формулировку;

– выяснить понимание терминов и оборотов речи;

– при необходимости пересказать условие;

– придумать способ представления условия в виде рисунка, схемы или модели.

II. Важно добиться, чтобы учащиеся поняли ход рассуждения. Для этого надо:

– в качестве опоры для рассуждений использовать рисунок, графическую иллюстрацию условия, реальные действия с величинами;

– при необходимости переформулировать условие задачи;

– научить ставить вопросы и давать развернутые ответы;

– при рассмотрении нового вида задач обязательно записать полное решение хотя бы одной из них, чтобы учащиеся могли воспользоваться им в качестве образца.

III. Овладев приемом, учащийся может выбрать любой удобный для себя способ решения. Если в классе в ходе рассуждений учащиеся предложили несколько способов решений одной и той же задачи, то это надо поощрять, ведь важно активное участие каждого ученика в процессе решения.

Задача 1. На двух полках 84 книги, причём на второй полке на 12 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Рассмотрим четыре способа ее решения.

I способ. (рис.1)

1) 84 – 12 = 72 (кн.) удвоенное число книг на первой полке

2) 72 : 2 = 36 (кн.) на первой полке

3) 36 + 12 = 48 (кн.) на второй полке

II способ. (рис.1)

1. 84 + 12 = 96 (кн.) удвоенное число книг на второй полке

2. 96 : 2 = 48 (кн.) на второй полке

3. 48 – 12 = 36 (кн.) на первой полке

I полка

12 кн. 84 книги

II полка

Рис.1

III способ. (рис.2)

1. 84 : 2 = 42 (кн.) на каждой полке, если все книги расположить на каждой полке поровну

2. 12 : 2 = 6 (кн.) нужно переложить

3. 42 + 6 = 48 (кн.) было первоначально на второй полке

4. 42 – 6 = 36 (кн.) было первоначально на первой полке

I полка 6кн.

6кн. 84 книги

II полка

Рис.2 12 кн.

IV способ.

Предположим, что на первой полке 20 книг, тогда на второй полке 20 + 12 = = 32 (кн.). Но в этом случае на обеих полках было бы только 32 + 20 = 52 (кн.). А в условии сказано, что всего было 84 книги и, следовательно, не хватает 84 – 52= = 32 (кн.). Значит, надо добавить на каждую полку по 16 книг. Тогда на одной полке будет 36 книг, а на другой – 48 книг.

Ответ: 36 книг, 48 книг.

Задача 2. Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

скорость по течению

собственная скорость скорость течения

собственная скорость

скорость против течения скорость течения

Рис. 3

Для решения задачи можно изобразить схему (рис. 3) и записать решение:

1. 22 – 18 = 4(км/ч) удвоенная скорость течения реки

2. 4 : 2 = 2 (км/ч) скорость течения реки

3. 18 + 2 = 20 (км/ч) собственная скорость катера

Ответ: 2 км/ч, 20 км/ч.

Применяя арифметический способ иногда сложно объяснить, сделать пояснение к действиям. Однако, именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.

2.2. Решение обратных задач

Обратные задачи являются средством развития мыслительных операций, необходимых для решения задач. Кроме того, составление и решение обратных задач – это критерий развития творческого мышления ученика, один из путей саморазвития ума.

Для того, чтобы ученик осознанно применял схему решения задачи, приведенную выше, и не испытывал затруднений при анализе и составлении плана решения, необходимо, чтобы он ясно представлял себе взаимосвязи между величинами, которые присутствуют в решаемой задаче.

Задача 3. Геологи 4 ч летели на вертолёте со скоростью 80км/ч, а затем ехали верхом на лошадях 2 ч со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?

Ученики составляют схему к задаче в виде таблицы.

	скорость	время	путь
вертолёт	80 км/ч	4ч	sв
лошадь	12 км/ч	2ч	sл

Решение прямой задачи:

1)80 ∙ 4 = 320 (км) на вертолёте

2)12 ∙ 2 = 24 (км) на лошадях верхом

3) 320 + 24 = 344(км) весь путь.

Ответ: 344 км

Дальше составляем обратную задачу, опираясь на таблицу, заменяя известные величины на неизвестные. Составив схему к обратной задаче, ученики составляют, формулируют саму задачу.

	скорость	время	путь
вертолёт	vверт	4 ч	320 км
лошадь	vлош.	2 ч	24 км

Возможна и другая схема:

	скорость	время	путь
вертолёт	80 км/ч	? ч	320 км
лошадь	12 км/ч	? ч	24 км

:

Можно сформулировать к этой схеме следующий вопрос:

Сколько времени они путешествовали?

При составлении обратных задач и их решении ученики проявляют интерес. Так как при этом ученики самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом им помогает параллельная запись прямой и обратной задачи, а также схема, в которой ученики сами устанавливают прямые и обратные связи. Учащиеся

овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений.

Умение решать прямую и обратные задачи являются важными критериями достигнутой учеником глубины понимания изучаемого раздела математики. Составление и решение обратных задач достаточно простой и удобный критерий развития творческого мышления, как один из путей саморазвития ума учащегося.

2.3. Решение задач алгебраическими методами (с помощью уравнений)

Многие задачи в 5 – 6 классах учащиеся решают с помощью уравнений. От учеников при этом требуется выявить все величины, участвующие в задаче, отделить известные от неизвестных, установить зависимость между ними, выбрать одну из них для составления уравнения.

Один из приемов обучения решению задач с помощью составления уравнения состоит из трех этапов:

• распознавание величин, участвующих в задаче;

• установление зависимостей между величинами;

• выражение одной величины через другую.

Умение выполнять два первых этапа также необходимы и при решении задач арифметическим способом.

Задача 4. Для школы купили 220 столов и стульев. Причём стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи входят величины: количество столов, количество стульев, общее количество столов и стульев.

2. Количество стульев в 9 раз больше, чем столов. Количество столов принимаем за х, тогда количество стульев – 9х.

3. 220 – сумма величин, так как в первой фразе говорится, что купили 220 столов и стульев.

З атем составляется схема к задаче:

Столы х

220 Стулья – в 9 раз больше 9х

Затем составляем схему уравнения:

Количество столов

Количество стульев

+

х

9х

= 2 = 220

+ = 220

Этот способ решения задачи с помощью уравнения учит обучающихся видеть величины, данные в условии задачи, и вскрывать связи между ними. Кроме того, способствует формированию у учащихся обобщенных видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.

Если задача более сложная, то можно использовать другой прием решения задач с помощью уравнения: составление таблицы с указанием значения известных величин, введения неизвестных, и выражение неизвестных величин через буквенное значение.

Методической основой обучения учащихся является следующий обобщенный прием аналитического поиска решения текстовой задачи. Он состоит в следующем:

I. Выполнить анализ задачи, выявив:

а) название величин, содержащихся в задаче;

б) функциональную связь между этими величинами;

в) количество заданных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

г) известные и неизвестные величины в каждой задачной ситуации;

д) связь между соответствующими величинами;

е) искомую величину.

II. Оформить (с учётом основного отношения и числа задачных ситуаций, элементов) табличную запись данных и неизвестных величин в каждой.

ситуации и сравнить между собой соответствующие значения неизвестных величин, используя знаки равенства, знаки арифметических действий.

III. На основе табличной записи текста задачи построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:

а) записать обозначение искомой (например х) или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;

б) использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.

IV. Выписать, пользуясь моделью поиска, полученное уравнение, являющееся основой для получения уравнения.

V. Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

VI. Решив уравнение, ответить на вопрос задачи, записать ответ.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

В результате исследования, описанного выше, составляем таблицу:

	Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
I велосипедист	х	2	2х
II велосипедист	х - 3	2	2(х - 3)	76км

Уравнение:

2х + 2(х – 3) = 76

2х + 2х – 6 = 76

4х = 76 + 6

4х = 82

х = 82 : 4

х = 20,5

Решив данное уравнение, обратившись к вопросу задачи, найдем скорости велосипедистов, запишем ответ к задаче.

20,5 км/ч – скорость I велосипедиста

20,5 – 3 = 17,5 км/ч – скорость II велосипедиста

Ответ: 20,5 км/ч, 17,5 км/ч.

Предлагая ученикам задачи, решаемые с помощью уравнения, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы – не формирование навыка решения как самого уравнения, а осознание общего пути преобразования предлагаемых условий от сложного к более простому.

Заключение

Решение текстовых задач – это огромная тема в математике. На протяжении всей основной школы учащиеся решают математические задачи. Нередко с ними приходится сталкиваться и в повседневной жизни. Но не все учащиеся овладевают теми или иными методами или приемами работы над задачей, у учеников часто возникают трудности, связанные с непониманием смысла самой задачи.

Учителю необходимо формировать у обучающихся умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучать учащихся разнообразным математическим методам познания реальной действительности.

Для развития логической деятельности, повышения интереса к математике представляется целесообразным показать, что та или иная задача может быть решена несколькими различными способами.

Решение задач различными способами имеет важное методическое значение и представляет большие возможности для совершенствования процесса обучения математике. Решение задач развивает логическое и интеллектуальное мышление.

Решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны, которые позволяют учащимся любить и выбирать этот вид деятельности на уроках математики.

При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико – материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 кл., 6 кл. Учебник. – М.: «Ювента», 2015.

2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 6 кл. Учебник. – М.: «Мнемозина», 2014.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. «Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений» – М.: «Просвещение» 2010.

4. Потапов М. К., Олехник С., Нестеренко Ю. Математика. Методы решения задач для поступающих в вузы. – М.:«Дрофа», 2005.

5. Климченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: «Просвещение»,1992.

6. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. Книга для учащихся, М.: Просвещение,1984.

7. Шестаков С. А., Гущин Д. Д. Задачи на составление уравнений. – Москва, МЦНМО 2012.