Опорные конспекты по теме "Тела вращения"

Конус.

1. Определение конуса.

Конусом называется геометрическое тело, которое получается вращением _________________________________________ вокруг одного из __________________________ .

1. Изображение конуса и его элементов (вершина, ось, образующая, основание, боковая поверхность).

1. Различные виды сечений (изображения):

1. Осевое

1. Параллельное основанию конуса

1. Наклонное, проходящее через вершину конуса

1. Наклонное, не проходящее через вершину конуса

1. Развёртка конуса (изображение).

1. Формула вычисления площади боковой поверхности: _____________________________________

2. Формула вычисления площади полной поверхности конуса: _______________________________

3. Формула для вычисления площади осевого сечения конуса:________________________________

4. Формула для вычисления объёма конуса:________________________________

5. Какой должна быть высота конуса, осевое сечение которого имеет ту же площадь, что и основание? ____________________________________________________________________________________

1. Решение задач по готовым чертежам. Записать подробное решение.

1. Найти высоту конуса, если образующая равна 13см, радиус основания равен 5см.

1. Найти радиус основания и высоту конуса, если угол при вершине осевого сечения прямой и образующая равна .

1. Найти радиус основания и высоту конуса, если угол при вершине осевого сечения равен и образующая равна .

1. Найти расстояние ОК, если сечение АВС – равносторонний треугольник, образующая конуса равна 12, радиус основания равен 10.

1. Найти радиус основания и образующую конуса, если его высота равна 12, .

Цилиндр.

1. Определение цилиндра.

Цилиндром называется геометрическое тело, которое получается вращением _________________________________________ вокруг одной из __________________________ .

1. Изображение цилиндра и его элементов (ось, образующая, основание, боковая поверхность).

1. Различные виды сечений (изображения):

1. Осевое

1. Параллельное основанию конуса

1. Наклонное, проходящее через основания цилиндра

1. Наклонное, не проходящее через основания цилиндра

1. Развёртка цилиндра (изображение).

1. Формула вычисления площади боковой поверхности: _____________________________________

2. Формула вычисления площади полной поверхности цилиндра: ____________________________

3. Формула для вычисления площади осевого сечения цилиндра: _____________________________

4. Формула для вычисления объёма цилиндра: _____________________________

5. Какой должна быть высота цилиндра, осевое сечение которого имеет ту же площадь, что и основание? ____________________________________________________________________________________

1. Решение задач по готовым чертежам. Записать подробное решение.

1. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000   воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли деталь. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ вы­ра­зи­те в  .

1. Даны две круж­ки ци­лин­дри­че­ской формы. Пер­вая круж­ка в пол­то­ра раза ниже второй, а вто­рая вдвое шире первой. Во сколь­ко раз объём вто­рой круж­ки боль­ше объёма первой?

1. Высота бака ци­лин­дри­че­ской формы равна 20 см, а пло­щадь его ос­но­ва­ния 150 квад­рат­ных сантиметров. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 ку­би­че­ских сантиметров.

1. Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 32 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на  .

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

1. Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите объём, делённый на  .

1. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

1. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна  , а диа­метр ос­но­ва­ния — 1. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Сфера. Шар.

1. Определения сферы и шара.

1. Сферой называется геометрическое тело, которое получается вращением _________________________________________ вокруг __________________________ .

2. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, _____________________________________________________________________________.

3. Шаром называется геометрическое тело, ограниченное ________________.

1. Изображение шара и его элементов (центр, ось, диаметр).

1. Взаимное расположение сферы и плоскости. Сечения шара. (изображения и условия):

1. сечение, параллельное диаметру

1. сечение проходящее через центр

1. плоскость, касательная сфере

1. расположение сферы и плоскости, не имеющих общих точек

1. Касательная плоскость у сфере (две теоремы).

1. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Формула вычисления площади сферы: _____________________________________

2. Формула вычисления объёма шара: _____________________________________

3. Однородный шар диа­мет­ром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, из­го­тов­лен­но­го из того же материала, с диа­мет­ром 2 см? 

____________________________________________________________________________________

1. Решение задач по готовым чертежам. Записать подробное решение.

1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

1. Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

1. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, поверхность которого равна сумме поверхносте данных шаров.

1. Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

1. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

1. Даны два шара. Диа­метр пер­во­го шара в 8 раз боль­ше диа­мет­ра вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

1. В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

1. Около шара опи­сан ци­линдр, пло­щадь полной по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна 6. Най­ди­те площадь по­верх­но­сти шара. 

1. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь полной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

1. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Площадь поверхности шара равна 156. Найдите площадь боковой поверхности конуса, делённую на .

Предлагаемый материал предназначен для подготовки выпускников 11-х классов общеобразовательных учреждений к государственной итоговой аттестации по математике по темы «Тела вращения». Материал состоит из трёх документов: "Цилиндр", "Конус, Шар". Опорные конспекты составлены единообразно: первая часть содержит необходимые теоретические сведения и чертежи, вторая - на обороте листа - типовые задачи формата ЕГЭ как для профильного (задание 8), так и для базового (задание 13) уровня.

Материал может использоваться на уроках геометрии при совместном изучении темы и для самостоятельной подготовки ученика.

Работы составлена с использованием следующих источников:

1. Тренировочные материалы в формате ЕГЭ - 2019: [Электронный ресурс] URL: https://ege.sdamgia.ru

2. Открытый банк заданий ЕГЭ:

[Электронный ресурс] URL:  http://www.fipi.ru