Неравенства с модулем

4 |x 2  – 9| |x 2  – 3x + 2| + |2x + 1| |x 2  – 5x + 9| " width="640"

  |х + 5| 4

|x 2  – 9|

|x 2  – 3x + 2| + |2x + 1|

|x 2  – 5x + 9|

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

|a|

|a|

0

x

– a

a

Способ 1. Геометрический смысл модуля.

Пример 1. Решить неравенство |х – 3|

Решение.

4 ед.

4 ед.

0

– 1

7

x

3

– 1

Ответ: ( – 1; 7) .

Способ 2 . Графическое решение.

Решение.

1

0

4

1

2

Способ 3 . Возведение в квадрат.

Пример 3. Решить неравенство |x 2 – 1|

Решение.

(|x 2 – 1|) 2

(x 2 – 1) 2

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)( x 2 – 1 + x 2 – x + 1)

(x – 2)(2x 2 – x)

x(x – 2)(2x – 1)

+

–

–

+

2

0

x

Способ 4 . Определение модуля.

Пример 4. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3 .

Решение.

х ≥ 1;

х

Если х – 1 ≥ 0 , то |x – 1| = х – 1 :

– 4х ≤ 0 ;

х ≤ 3 ;

2х ≤ 6;

х ∈ [1; 3] ;

х ∈ [0; 1] ;

Если х – 1

– 4х ≤ 0 ;

х – 1 ≥ 0 ;

2х ≤ 6;

х – 1

– 4х ≤ 0 ;

Ответ: [0; 3] .

Пример 5 . Решить неравенство | х 2 – 3 | – 2х ≤ 0 .

Решение.

│ х 2 – 3│≤ 2х ;

(х 2 – 3) 2 – (2х) 2 ≤ 0;

(х 2 – 3 – 2х)(х 2 – 3 – 2х) ≤ 0 ;

(х +1)(х – 1)(х – 3)(х + 3) ≤ 0 ;

+

+

+

–

–

3

– 3

– 1

1

Ответ: [ 1 ; 3] .

│х + 6│ . Решение. (х – 4) 2 (х + 6) 2 ; (х – 4) 2 – (х + 6) 2 0 ; (х – 4 – х – 6)(х – 4 + х + 6) 0 ; – 10(2х + 2) 0 ; 2х + 2 х Ответ: ( – ∞; – 1). " width="640"

Пример 6 . Решить неравенство │х – 4││х + 6│ .

Решение.

(х – 4) 2 (х + 6) 2 ;

(х – 4) 2 – (х + 6) 2 0 ;

(х – 4 – х – 6)(х – 4 + х + 6) 0 ;

– 10(2х + 2) 0 ;

2х + 2

х

Ответ: ( – ∞; – 1).

Решение.

Ответ: ( – 3; 2).

Пример 8 . Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30 .

Решение.

|2x + 3| ≤ 6 ;

(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 ;

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30 ;

y = |2x + 3| ;

y 2 – y ≤ 30 ;

y 2 – y – 30 ≤ 0 ;

D = 121 ;

y 1 = 6, y 2 = – 5 ;

(y – 6)(y + 5) ≤ 0 ;

– 5 ≤ y ≤ 6 ;

– 5 ≤ |2x + 3| ≤ 6 ;

|2x + 3| ≥ – 5;

2x + 3 ≤ 6 ;

2x + 3 ≥ –6 ;

x ≤ 1,5;

x ≥ –4,5 ;

х ∈ [ – 4,5; 1,5] ;

Ответ: [ – 4,5; 1,5].