Научный проект на тему: "Правильные многоугольники"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия

№1

Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Секция математики

Исследовательская работа

Выполнил: Ворона Илья

учащийся 10 «А» класса

Руководитель: Мартынова Екатерина Владимировна, преподаватель математики

г. Хабаровск

2022

Содержание

Введение ……………………………………………………………………3

Часть 1. Правильные многоугольники, основная информация…………4

1.1 Правильный многоугольник это ……………………………….4

1.2 Какими свойствами обладают ………………………………….5

1.3 История изучения правильных многоугольников …………….7

Часть 2. Правильные многоугольники в нашей жизни и природе………9

Заключение …………………………………………………………..……12

Источники …………………………………………………………………13

Введение

Проблема исследования определена необходимостью изучения человеком геометрии и ее свойств, и использовании этих свойств в своей деятельности, и в построении научной картины мира

Объектом исследования являются правильные многоугольники и их свойства

Предметом – теория по данной теме и примеры из жизни

Целью данного исследования является изучение важных для геометрии фигур – правильных многоугольников

Задачи:

1.Собрать и структурировать информацию по данной теме

2.Сделать выводы

Для достижения поставленной цели были использованы методы анализа, наблюдения, информационно-поисковый.

Данное исследование имеет практическую значимость, так как его можно использовать в образовательных целях

Часть 1. Правильные многоугольники, основная информация

1.1 Правильный многоугольник это…

Чтобы ответить на вопрос, что такое правильный многоугольник, мы должны сперва узнать, что такое обычный многоугольник.

Многоугольник – это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки между ними сторонами.

Многоугольников существует бесконечное множество, и они отличаются друг от друга по свойствам. Вид многоугольника зависит от количества его углов,

так если в фигуре 3 угла это треугольник, 4- четырёхугольник и т.д., фигуру с n количеством углов принято называть n-угольником.

Рис1.разные многоугольники

Теперь, когда мы определились с понятием многоугольник, найдем определение правильного многоугольника.

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы.

Правильный многоугольник отличается от обычного своими равными сторонами и углами. Т.к. все углы в нём равны, следовательно, правильный многоугольник будет выпуклой фигурой. Вокруг или внутри правильного многоугольника хорошо описывается или вписывается окружность.

Рис.2 Примеры правильных многоугольников

1.2 Какими свойствами обладают?

В прошлом пункте мы уже указали основные отличительные качества правильных многоугольников от многоугольников обычных, а именно равность сторон и углов в правильном многоугольнике.

Поэтому дальше мы рассмотрим особые свойства таких правильных многоугольников, как треугольник, квадрат и пятиугольник.

Свойства правильного треугольника:

1.Высота, проведенная из вершины правильного треугольника, также является

Медианной и биссектрисой.

2.В правильном треугольнике высоты медианы и биссектрисы

пересекаются в точке, которая называется центром правильного треугольника,

и которая является центром вписанной и описанной окружностей

3.Центр правильного треугольника делит высоты как 2 к 1

Рис.3 Правильный треугольник

Свойства квадрата:

1) Диагонали квадрата равны.

2) Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам.

3) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

4) Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

Пример

1) AC=BD.

2) AO=OC, BO=OD.

3) AC и BD перпендикулярны.

4) AC — биссектриса углов BAD и BCD, — BD биссектриса углов ADC и ABC.

Рис.4 Квадрат

Свойства пятиугольника(пентагона):

1)Углы равны по 108 градусов.

2)Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

3)Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.

4)Количество диагоналей соответствует 5.

5)Биссектрисы, проведенные через центр, равны.

6)Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.

Рис.5 Пентагон

Часть 2

История изучения правильных многоугольников

История правильных многоугольников уходит в глубокую древность.

Великие греческие умы еще до нашей эры решали множество важных научных и философских вопросов. Геометрия не стала исключением. Начиная с 7 века до н.э. в Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах имели размышления, с помощью которых можно было получать новые геометрические свойства.

Одной из самых первых и известных школ была Пифагорейская, названная в честь её основателя, всем известного, благодаря его теореме, Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма – правильный пятиугольник. Считалось что пентаграмма защищает от злых духов.

Еще одним важным Греческим математиком был Евклид, внесший большой вклад в развитие геометрии, и развитии изучения правильных многоугольников в 3 томе своей работы “О началах”, в 3 томе.

Свой вклад также внесли Платон, Архимед и другие умы эпохи античности.

Рис.6 Пифагор Рис.7 Евклид

Рис.8 Платон Рис.9 Архимед

Часть 2

Правильные многоугольники в нашей жизни и природе

В природе часто встречаются разнообразные правильные многоугольники. Это могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д. Виртуозно компонуя их, природа создала бесконечное множество сложных, удивительно красивых, легких, прочных и экономичных конструкций. Примерами правильных многоугольников в природе могут служить: пчелиные соты и снежинки. Рассмотрим их поподробней

    Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой правильную призму, в основании которой находится правильный шестиугольник. Конечно, геометрию они не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических фигур. На этих шестиугольниках пчёлы выращивают из воска ячейки. В них пчёлы и откладывают мёд, а за тем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

    Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник? Пчёлы используют правильные шестиугольники, т.к. шестиугольники имеют наименьшее значение отношения площади к периметру, что позволяет пчелам экономить воск и время на постройку сот.

Снежинка — одно из самых прекрасных созданий природы.

Природная шестиугольная симметрия проистекает из-за свойств молекулы воды, которая имеет гексагональную кристаллическую решетку, удерживаемую водородными связями, и это позволяет ей иметь в условиях холодной атмосферы структурную форму с минимальной потенциальной энергией. Красота и разнообразие геометрических форм снежинок по сей день считается уникальным природным явлением.

Но не только природа, но и человек использует правильные многоугольники в своей деятельности

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники.

Ярчайшим примером, который сразу приходит на ум, являются древнеегипетские пирамиды. Они имеют форму правильного тетраэдра, и имеют большое прочное основание, которое позволило людям в то время построить настолько высокие сооружение, которые и в наше время считаются чудом света и архитектурным шедевром античности.

Ещё одним примером использования пирамид в архитектуре является стеклянный тетраэдр в Лувре. Простая форма контрастирует со зданием музея, который выполнен в строгом стиле французского классицизма.

Рис.10 Лувр

А здание министерства обороны США тоже построено в форме правильного многоугольника, только на этот раз пентагона.

Пентагон— крупнейшее в мире офисное здание, принадлежащее одному владельцу (в данном случае Министерству обороны США). Занимает 14-ю строчку в списке крупнейших зданий и сооружений мира (по площади помещений).

Пятиугольную форму здания подсказал план местности, когда создавались эскизы проекта, — в том месте проходили несколько дорог, которые пересекались под углом 108 градусов, а это и есть угол построения пятиугольника (пентагона). Поэтому здание с такой формой в плане органично вписывалось в транспортную инфраструктуру, и проект был утверждён.

Рис.11 Пентагон

Еще два здания с интересной планировкой с использованием правильных многоугольников это Национальная библиотека, расположенная в восточной части столицы Беларуси, города Минска, и центральная библиотека в Ницце, Франция.

Рис.12 Библиотека в Минске

Рис.13 Библиотека в Ницце

Белорусская библиотека построена в стиле модерн с использованием сложных геометрических фигур, а французы расположили свою библиотеку внутри гигантского куба, символизирующую черепную коробку и проходящие внутри нее мыслительные процессы.

Заключение

Правильные многоугольники являются неотъемлемой частью нашей жизни.

Их наблюдают химики, когда изучают вещества и связи между частицами, их использует природа и живые существа создавая уникальный узор для снежинок и строя стенки сот в форме шестиугольников, их используют архитекторы, создавая простые, но достойные проекты, или проектируя здание с огромным количеством геометрических фигур. Как мы узнали люди начали изучать свойства правильных многоугольников ещё до нашей эры, но этими открытиями мы пользуемся до сих пор.

Источники

https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многоугольник

http://www.treugolniki.ru/chto-takoe-kvadrat/

https://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/85022-pravilnyi-piatiygolnik-postroenie-svoistva-i-formyly.html#i-4

https://www.windoworld.ru/collection/buildings/

https://ru.wikipedia.org/wiki/Пентагон