Ее величество трапеция

Научно – исследовательская работа

 

«Ее величество Трапеция»

 

Автор: Соснина Анастасия

               Студентка 1 курса

Руководитель: Богаева Н.В.

              преподаватель математики

 

 

 

 

 

 

КГУ «Глубоковский технический колледж»

2021 г

 

Содержание:

1. Введение

Стихотворение «Трапеция»  (проблемно-поисковая ситуация)

1. Основной блок
   1. Математическая сказочка
   2. Элементы и виды трапеции
   3. Свойства трапеции
   4. Стихотворение «Все (или не все?) о трапеции»
2. Исследовательский блок: теория

Методы «борьбы» с трапециями

1. Исследовательский блок: практика

«Задача одна-решения разные!»

1. Образцы карточек с разноуровневыми заданиями
2. Заключение

 

ТРАПЕЦИЯ, ТРАПЕЦИЯ

Фигура есть такая,

Мне грустно потому,

Что я её не знаю.

Ты где живёшь, трапеция,

В Америке, в Китае?

Может, за трапецией

Поехать надо в Грецию?

А мама говорит: - Не надо,

Трапеция с тобою рядом.

Развею я твою тоску,

Ты подожди минутку.

И на гладильную доску

Укладывает юбку,

Вот тебе ТРАПЕЦИЯ,

Не стоит ехать в Грецию.

 

 

 

 

Паспорт.

Цель исследования:

Изучив теоретический материал учебника и дополнительных источников выявить методы решения задач по теме «Трапеция» и различные способы нахождения площади трапеции.

Задачи исследования:

1)Изучить соответствующую литературу.

2)Провести исследование по выявлению методов решения задач с помощью дополнительных построений.

3)Провести исследование возможности решения задачи на нахождение площади трапеции несколькими способами.

4)Выявить примеры проявления  трапеции в окружающем мире.

Актуальность:

Вопрос о нахождении площадей плоских фигур всегда актуален, так как находится в центре внимания деятельности человека. Знания и умения находить площадь трапеции имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого национального тестирования. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет найти новые подходы к решению геометрических задач. Поэтому именно эта тема нас заинтересовала, появился интерес узнать то, что находится за страницами учебника.

Практическая значимость:

Данная тема очень актуальна. В школьных учебниках по этой теме есть задания с применением знаний о нахождении площадей плоских фигур. Математические  олимпиады и конкурсы содержат задачи, в которых необходимы навыки решения   заданий нестандартным способом.  Но особенно значим этот проект при подготовке к ВОУД и ЕНТ, так как в тестах содержатся задачи на нахождение площадей плоских фигур. Созданный проект по этой теме позволяет учащимся самостоятельно поработать и получить необходимые знания. Данную работу можно использовать:

• На уроках
• На дополнительных занятиях
• В кружковой работе
• При проведении предметных недель
• На научно-исследовательской конференции в школе
• На консультациях, индивидуальных и дополнительных занятий при подготовке к ВОУД и ЕНТ.

 Гипотеза:

Существуют ли методы решения задач помощью дополнительных построений и различные способы нахождения площади трапеции.

 

 

Объект исследования:  трапеция

 

Предмет исследования: площадь трапеции.

 

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением рассуждения, доказательства и анализ фактов.

В своей работе мы поместили стихи об этой геометрической фигуре.

   

 Ход исследования:

 

1.  Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и найти новые способы нахождения площади трапеции.

2.  Оформить документ в виде папки.

3.  Создать презентацию.

4.  Сделать сообщение учащимся 8 класса на уроке и на школьной НПК.

5.  Разработать серию карточек с задачами на готовых чертежах.

6.  Провести проверочную работу по карточкам с учащимися 8 класса.

7.  Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

 

В ходе работы нам предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют другие способы нахождения площади трапеции

Содержание:

1. Введение

Стихотворение «Трапеция»  (проблемно-поисковая ситуация)

1. Основной блок
   1. Математическая сказочка
   2. Элементы и виды трапеции
   3. Свойства трапеции
   4. Стихотворение «Все (или не все?) о трапеции»
2. Исследовательский блок: теория

Методы «борьбы» с трапециями

1. Исследовательский блок: практика

«Задача одна-решения разные!»

1. Образцы карточек с разноуровневыми заданиями
2. Заключение

 

 

 

 

Введение

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов.  Почти все великие учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами. Древнегреческий философ Платон,

проводивший беседы со своими учениками, одним из девизов своей школы провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются!»

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство четырёхугольников. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Подумайте и самостоятельно ответьте на вопрос: что такое “площадь”? И вы увидите, что не так-то это просто. Даже математики смогли создать соответствующую математическую теорию сравнительно недавно. Правда, это никому не мешало успешно использовать понятие площади и в науке, и на практике с незапамятных времен. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции  и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. На уроке геометрии мы доказывали теорему  о нахождении площади трапеции.

 

ТРАПЕЦИЯ, ТРАПЕЦИЯ

 

Фигура есть такая,

Мне грустно потому,

Что я её не знаю.

Ты где живёшь, трапеция,

В Америке, в Китае?

Может, за трапецией

Поехать надо в Грецию?

А мама говорит: - Не надо,

Трапеция с тобою рядом.

Развею я твою тоску,

Ты подожди минутку.

И на гладильную доску

Укладывает юбку,

Вот тебе ТРАПЕЦИЯ,

Не стоит ехать в Грецию.

 

 

 

 

 

 

Трапеция.

Математическая сказочка.

       Жил-был когда-то давно в Древней сказочной стране маленький трапезный столик по имени Трапезио. Он очень любил гулять в одиночестве. Но случилась однажды беда: налетел ураган и понес Трапезио неизвестно куда. Долго ли, коротко ли странствовал бедный столик, только как-то теплым весенним днем опустил его все-таки ураган на землю. Да только страна оказалась совсем необычной – Страна Геометрия. Почувствовал столик, что появились у него какие-то новые элементы, изменились старые, да только увидеть себя ему ну никак не удавалось. Шел Трапезио по этой далекой стране, брел куда-то, и, наконец увидел озеро, наклонился, а там… Смотрела на него необыкновенная геометрическая фигура.Так и появилась на свет Трапеция.

• Трапе́ция(от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Элементы и виды трапеций.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (или равнобокой), название равнобедренная используется чаще.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

У равнобедренной трапеции диагонали равны.

Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.

Если у равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Всё (или не всё?) о трапеции

 

Все, что имеем мы на свете

Геометрия разметит,

На фигуры, на прямые

И на точки веховые.

Землю, дом, сады, скамейки,

Все измерит по линейке.

Геометрия сначала,

Только землю измеряла,

А потом в ней, как поэмы,

Появились теоремы,

О фигурах, об углах,

Об отрезках и лучах.

В клуб такой многоугольный,

Видно по протекции,

Королевою вступает

Важная Трапеция,

Основательная дама-

Есть два Основания.

Параллельные друг другу,

Обрати внимание.

Две другие стороны,

Даже могут быть равны,

О Равнобокой мы узнали,

Равны ее Диагонали,

Равны углы при основании,

Но мы продолжили дознанье,

А супротивные углы,

 Что в градусах измерены

180 в сумме дать должны

И в этом мы уверены.

Еще узнали у нее,

Такое вот поветрие,

Чрез середины оснований

Проходит Ось симметрии.

Бока поделим пополам,

Перпендикулярами,

С осью в точку их сведем,

Не тратя даром время мы,

И Центр окружности готов,

Описывай без лишних слов.

Подруги есть две у трапеции нашей,

О них мы, конечно,

Немного расскажем.

Одна из трапеций-

На нашу похожа,

Есть два основанья,

Но как-то построже.

С одной стороны

Она точно такая,

С другой же, прямая,

Ну, очень прямая.

Но наша трапеция

Очень довольна,

Подругой своею

Прямоугольной.

Вторая подруга-

Приносит волнение

 

Криволинейность ее поведения,

И вся в интегралах,

Ее не понять,

Пока мы не можем ее описать.

А площадь трапеции

Как же узнать?

Берешь основанья,

Их вместе слагаешь,

Дели пополам,

Перемножь с высотой

И делай, что хочешь,

Ты с площадью той!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

Исследование: теория

 

Очень часто в задачах по планиметрии встречается такая замечательная геометрическая фигура, как трапеция. С трапециями связано много интересных утверждений, каждое из которых в той или иной ситуации помогает найти аккуратные не громоздкие решения задач.

При решении задач с трапецией часто используются различные дополнительные построения. Мы попытались эти построения упорядочить (классифицировать), т.е. сделали попытку выяснить, какое именно дополнительное построение поможет решить задачу.

 

 

Исследование: практика

 

Результаты исследования: Методы «борьбы с трапециями»

Метод 1. Продолжить боковыестороны трапеции до взаимногопересечения.

Метод 2. Провести через вершину верхнего основания (например С) прямую, параллельную боковой стороне (СF || АВ)

Метод 3.Провести через вершину верхнего основания трапеции (например С) прямую, параллельную диагонали ВD(СF || ВD)

Метод 4. Провести высоту в равнобедренной или прямоугольной трапециях.

Трапеции, приятнейшей из дам,

В любви признался Параллелограмм.

А та, на общий угол намекая,

«А площадь, - говорит,           - у вас какая?»

 

Исследование: практика

«Задача одна – решения разные»

Вот трапеция дана,

Площадь нам ее нужна!

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:

Дана трапеция ABCD. Найти её площадь.

Первый способ:

Решение.

1. Провели высоты ВН и СК , ВН = СК,  HK = BC. Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АВН, прямоугольник НВСK  и треугольник CKD.
2. Таким образом, S_ABCD = S_ABH + S_HBCK + S_CKD 
3. S_ABCD = AH ∙ BH2+ BH∙HK+ CK ∙ KD2  = BH ∙12AH+HK+ 12KD=  

 

=BH ∙ AH+2HK+KD2=BH ∙ AH+HK+BC+KD2=BH ∙ BC+AD2 .  

 

Второй  способ:

Решение.

1. Провели высоты АН и DК , AН = DК,  AD  = HK. Тогда наша трапеция разбивается на три части: треугольник АHВ, прямоугольник AНKD  и треугольник CKD.

2. Таким образом, S_ABCD = S_AHKD –  S_AHВ -  S _DKC

3.    S_ABCD = AH∙AD- AH ∙HB2-  DK ∙CK2 = AH ∙AD- 12HB- 12CK=  

 

=AH ∙ 2AD-HB-CK2=AH ∙ AD+HK-HB-CK2=AH ∙ BC+AD2 .  

 

Третий  способ:

Решение.

1. Провели  СК‖АВ, высоту  ВН. Тогда наша трапеция разбивается на две части:  параллелограмм АВСК (по определению, так как АВ‖СК по построению, АК‖ ВС по условию) и ΔКСD.  Причём, высоты параллелограмма и треугольника равны.

2. Таким образом, S_ABCD = S_ABCK +  S _KCD 

3. S_ABCD =  AK∙BH+ KD ∙ BH2  = BH ∙AK+ 12KD=  

 

=BH ∙ 2AK+KD2=BH ∙ AK+AK+KD2=BH ∙ BC+AD2 .  

 

Четвёртый способ:

Решение.

1. Через середину стороны CD  (точка К)  провели прямую, пересекающую сторону AD  в точке L.
2. Рассмотрим треугольники BCK  и  LDC:  CK = DK (по построению), ∟ВCК = ∟LDK  (как соответственные при параллельных прямых),  ∟CKB = ∟DKL  (как вертикальные),  Δ BCK = ΔLDК  (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно, BC = LD  и  S_BCK = S_LDК.
3. S_ABCD = S_ABL = 12AL∙BH= AD+DL2 ∙ BH= AD+BC2 ∙ BH

 

Пятый способ:

Решение.

1. Через середины сторон AB  и  CD (точки M  и K ) провели перпендикуляры NH  и  PT к основаниям трапеции.
2. Рассмотрим Δ AMH  и  ΔBMN:  ∟H = ∟N = 90⁰ ,  AM = MB (по условию),  ∟AMH = ∟BMN (как вертикальные), значит, ΔAMH = ΔBMN  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  AH = BN  и  S_AMH = S_BMN
3. Рассмотрим Δ CPK  и  ΔDTK:  ∟T = ∟P = 90⁰ ,  CK = KD (по условию),  ∟CKP = ∟DKT (как вертикальные), значит, ΔCPK = ΔDTK  (по гипотенузе и острому углу), следовательно,  CP = DT  и  S _CPK =  S _DTK
4. S_ABCD = S_HNPT = NH ∙ NP

 

Шестой  способ:

Решение.

1. Провели диагональ BD. Тогда наша трапеция разбивается на две части: два треугольника  ΔABD  и   ΔBCD.
2. S_ABCD = S_ABD  + S _BCD = AD ∙BH2+ BC ∙BH2 =BH ∙ AD+BC2.

 

Седьмой  способ:

Решение.

1.  В трапеции даны диагонали AC = d₁, BD = d₂, ∟COD = α .
2.  ∟AOB = ∟COD (как вертикальные), ∟BOC  = ∟AOD = 180⁰ – α ,  и sin1800- α  = sinα .
3. S_ABCD = S_ABO + S_BOC + S_COD + S_AOD =   12AO ∙BO ∙ sinα  +

 + 12CO ∙BO ∙ sinα  + 12DO ∙CO ∙ sinα  + 12AO ∙DO ∙ sinα  =

=  12sinα AO ∙BO+BO ∙CO+CO ∙  DO+AO ∙  DO  =

 =  12sinα ∙ BO ∙ AO+CO+ DO ∙ CO+AO  =

 =  12sinα AC ∙  BO+DO = 12 sinα ∙AC ∙BD=  

=  12 d₁d_2sinα .

 

Восьмой  способ:

Решение.

1. В трапеции ABCD   MN – средняя линия, т. е.   AM = MB и  CN = ND,  MN =  AD+BC2   .
2. Так как   S_ABCD = AB+BC2 ∙BH=MN ∙BH  .

 

Девятый  способ:

Решение.

1. Через середину стороны CD  трапеции ABCD  провели перпендикуляр  KM к стороне AB, т. е. CK = KD, KM = q,  AB = d.
2.   PN ‖ AB.
3. ΔCPK = ΔDNK   по стороне и двум прилежащим к ней углам  (∟CKP = =∟DKN   (как вертикальные,   CK = DK  (по условию),   ∟PCK = ∟NDK   (как накрест лежащие при параллельных прямых),  значит,  S_CPK  = S_DNK
4.   S_ABCD = S_ABCKN  + S_CPK = S_ABPN  = dq.

 

Трапеция в окружающем мире и жизни человека.

Трапеция и архитектура

Своды в виде трапеции встречаются в самых древних архитектурных сооружениях. Простые и логические линии Арки Трапеция придают помещению торжественность и возвышенность, подчёркивая архитектонику всего сооружения. Интерьер может быть любым—от строго классического до современного. Трапеция - символ архитектуры инков. Трапеция - типичная архитектурная особенность Священной Долины. Тот факт, что подобные формы можно увидеть в других областях Перу, севернее Куско, возможно объясняется распространением влияния инков, или просто подражанием местными строителями архитектурным формам Священной Долины. Интересно отметить то, что в районе Тиауанако, который в общем-то, считается источником инкской культуры, трапециевидные формы не встречаются.

Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна - это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление.

 Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов,  в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Ниши могли иметь разнообразные функции, существует предположения, что в них размещались идолы или какие-либо другие культовые предеты. В жилых домах они могли выполнять роль хозяйственных шкафов для утвари и различных вещей.

Трапеция и природа

 В верховьях ледника Октябрьский высится пик Трапеция (6050 м). На него советские альпинисты поднялись в 1935 году.Гора Трапеция (абхазское название Хатхуа).

Ещё в 1880-е гг. известный русский ученый, директор Московской терапевтической клиники проф. А. А. Остроумов, пленившись красотой этого места, приобрёл на склоне горы участок земли, где построил дачу и заложил большой сад. В 1901 г. рядом со старой, деревянной, новая, каменная дача, где в этом же году гостил А. П. Чехов. У подножия горы на средства Остроумова в 1902 г. была построена Сухумская городская больница на 35 коек, которая функционирует до сих пор. Любопытно, что в советское время эта же больница была рассчитана на одновременное лечение 300 больных.

 Гора Альпамайо (Алпамайо, Alpamayo) расположена на горной цепи Кордильера Бланка, Анды, Перу.Высота Альпамайо достигает 5947 метров от уровня моря. Название происходит от деревушки расположенной неподалеку. Гора Альпамайо считается самой красивой горой в мире.

На Большом Кавказе известно одно такое карстово-тектоническое озеро — Самурское; площадь его 65 тыс. м2, максимальная глубина 7 м. Оно расположено на северном склоне Пастбищного хребта в бассейне реки Пшеха (левый приток реки Белой) в 6 км севернее станицы Самурской Апшеронского района Краснодарского края. Согласно легенде, на месте озера стоял когда-то черкесский аул. Во время землетрясения он провалился и на его месте образовалось озеро. Оно имеет вид неправильной трапеции, берега его изрезаны и обрывисты. Здесь много уютных бухточек и скалистых мысов. В зеленоватой, слегка мутной воде в тихую погоду отражается темная стена дубово-букового леса, окружающего озеро плотным кольцом.

Трапеция и космос

 В созвездии Ориона, возле Пояса Ориона, находится туманная область, которая называется Большой Туманностью Ориона, или М42. В этой туманности имеется яркое звёздное скопление под именем Трапеции Ориона. Там происходит процесс образования новых звёздных систем в гигантских комплексах газа и пыли, так называемых проплидах. Если внимательно посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что газ и пыль, окружающие некоторые слабые звёзды, образуют структуры, вытянутые по направлению от ярких звёзд. Рисунок представляет собой фото монтаж (в условном цвете) изображений, полученных космическим телескопом имени Хаббла.

 Взгляните на прилагаемый фрагмент звездной карты. На нем изображены звезды, образующие Трапецию Ориона: A, B, C и D. Звездная величина самой яркой из них – звезды С – 5.4m. Звезда D - вторая по яркости – имеет блеск 6.3m. Блеск звезды А составляет примерно 6.8m. Дело в том, что в 1975 году астрономы выяснили, что это затменно-переменная звезда с периодом 65.432 дней. И это не единственная переменная звезда в Трапеции Ориона: звезда В также является затменно-переменной звездой, но с периодом 6,471 день. Теперь обратите внимание на звезды одиннадцатой звездной величины: E и F. Угловое расстояние между ними и соседними яркими звездами (А и С соответственно) составляет порядка 4 угловых секунд. Это неплохой способ проверить возможности своего телескопа. Дело в том, что в небольшие телескопы (диаметр объектива 70-80 мм) эти две слабые звездочки видны лишь в очень темные и прозрачные ночи. Если апертура вашего телескопа порядка 200 мм и более, то эти звезды будут легким объектом для наблюдений

Трапеция и мода

По-прежнему модной остается трапециевидная стилистика, которая заявила о себе еще в далеком прошлом. Трапеция и стиль A-лайн невероятно популярны у молодых женщин, которые уже устали от бесформенных курток, но еще не готовы перейти на классические приталенные пальто. Воротник этих пальто может варьироваться от широкого до плоского воротника стойкой, хотя встречаются и стильные модели пальто-трапеции без воротника.

 Трапеция больше на крышу похожа.

Юбку рисуют трапецией тоже.

Взять треугольник и верх удалить -

Трапецию можно и так получить.

 

Прежде всего, модные сумки условно можно разделить на два вида: декоративные (порой с элементами эпатажа и китча, c бантами и стразами) и повседневные простые и незатейливые). Практически в любой модной коллекции можно найти сумки-трапеции и сумки-корзинки (полукруглые, объемные сумочки с двумя короткими ручками, такие были популярны в 70-х годах).

Идеальное платье для вас: платье-трапеция. Чтобы придать формам стройность, нет ничего лучше платья с юбкой-трапецией. Такая юбка от таки расходится и принимает форму трапеции, плавно облегая фигуру и расширяясь книзу. Расхождение между сторонами трапеции не должно быть слишком большим, иначе вы будете похожи не на звонкий колокольчик, а на царь-колокол.  Юбки-трапеции особенно удачно сочетаются с верхом без бретелек или глубоким V-образным декольте, что придает платью откровенную оригинальность.

Это интересно!

При составлении персонального гороскопа конфигурация «Трапеция» предполагает однонаправленный путь и большое упорство. Обычно это сопровождается сомнениями и борьбой. Человек имеет защиту и в то же время постоянно испытывает посягательство на свою стабильность: однако многие бури просто проносятся над головой. Обладатель гороскопа «Трапеция» часто делает удачную карьеру.

Вывод:

Существует много способов нахождения площади трапеции. При решении задач используется тот метод, который удобен.

Трапеция присутствует в окружающем мире и жизни человека.

В ходе работы я узнала много нового, расширила и углубила свои знания по этой теме. Научилась составлять карточки с задачами. Выступив с презентацией на своем курсе мы провели проверочную работу по этим карточкам и мои однокурсники показали такие результаты:

«5» - 1,    «4» - 8,    «3» - 6,   «2» - 0. При 100% успеваемости качество знаний составляет 60%.

Выдвинутая нами гипотеза нашла свое подтверждение.