Модель движения лодки

Модель движения лодки

Цель работы

Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законы Ньютона, Закон всемирного тяготения).

Содержательная постановка

Лодку оттолкнули от берега с некоторой начальной скоростью. Необходимо исследовать движение лодки .

Рассматривается движение лодки в воде с начальной горизонтальной скоростью под действием силы тяжести mg, архимедовой выталкивающей силы F_А и силы сопротивления движению F_с , приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести. Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях:

· объектом исследования является лодка, совершающая поступательные движения в горизонтальной плоскости;

· лодку принимаем за материальную точку массы , положение которой совпадает с центром масс;

· движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона);

Величина сопротивления воды F_с прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению:

где μ – коэффициент пропорциональности (величина постоянная).

y

F_A

F_c

0

X

mg

Уравнение движения лодки в направлении оси х согласно 2-му закону Ньютона и начальное условие имеют вид:

при следующих начальных условиях

Аналитическое решение

Уравнение решается методом разделения переменных.

Подставим производную от скорости ее приближенным разностным значением:

Уравнение принимает вид:

Строится разностный аналог уравнения движения:

задается шаг интегрирования, и проводятся расчеты до требуемого момента времени. Проверяем сходимость численного решения.

Аналитическое решение

можно принять в качестве точного решения этой задачи. Результатом решения задачи должны быть вычисления и построение графика для разных шагов интегрирования и сравнение с точным решением.

Построить и исследовать скорость движения лодки при μ=2m, v₀=2 и времени t=4. Остальные параметры те же.