Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 4. Задание + решение.

Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 4. Задание + решение.

Алгебраическое выражение — запись, состоящая из чисел, переменных, знаков алгебраических действий и скобок.

Числовое выражение — частный случай алгебраического!

Алгебраическим равенством называется запись вида A = B, где A и B — алгебраические выражения. При подстановке в алгебраическое выражение некоторых чисел в качестве значений переменных получится числовое выражение. Его значение назовём числовым значением алгебраического выражения при данных значениях переменных.

Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения. 

Например, равенства ,  являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.

Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. 

Например, выражения , и  являются рациональными. 

Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби. 

Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби. 

Например, выражения  и  – целые, а выражение  – дробное. 

Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.

В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.

Формулы сокращенного умножения:

 (3.1)

 (3.2)

 (3.3)

 (3.4)

 (3.5)

 (3.6)

 (3.7)

Арифметические действия с алгебраическими дробями

1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют: 

а) согласно правилу:

, (3.9)

если многочлены B и D не имеют общих множителей;

б) согласно правилу:

, (3.10)

где , , если многочлены B и D имеют общие множители. 

Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

. (3.11)

Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

. (3.12)

Формула разложения квадратного трехчлена   на линейные множители: ,

, (3.13)

где  и  – корни квадратного трехчлена.

Корни квадратного уравнения  находят по формулам:

, (3.14)

где . (3.14.1)