Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 9. Задание + решение.

Математика. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Тренировка № 9. Задание + решение.

Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.

К тождественным преобразованиям относятся:

приведение подобных членов

раскрытие скобок

разложение на множители

приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.

Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.

Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:

равны друг другу при любых значениях  и . При этом одно выражение преобразуется в другое – ему тождественно равное.

При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

         Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

-         величина допустимых изменений буквенных величин;

-         область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен  до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.

.

         Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:

         Второе требование – неизменность областей допустимых значений, не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь  на разность  и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что , т.е. произошло изменение области допустимых значений величины . Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.

         Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

Порядок выполнения действий:

-         действия с одночленами;

-         действия в скобках;

-         умножение или деление (в порядке появления);

-         сложение или вычитание (в порядке появления).

Обыкновенная дробь – число вида ; a – целое число, b – натуральное число. Две дроби  равны, если . Основное свойство дробей , где c – любое отличное от нуля действительное число.

В пропорции ; a и d – крайние члены, b и c – средние члены.

Основное свойство пропорции:  (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).

Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:

При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень  называется арифметическим лишь в том случае, если число  положительно или нуль, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство  верно лишь при условии, что . При  нужно писать так: .

Аналогично равенство  верно лишь в случае, если . При  оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .

Примеры решения задач.

1.     Вычислить: .

Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.

         Будем выполнять вычисления по действиям:

1). .

2). 

3)..

4). .

Таким образом, =.

2.     Упростить выражение: , при ,  и .

Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:

,

поскольку , то ;  по условию.

         Следовательно, дробь  положительна, т.е. , а значит, и .

         Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

         Подставляя значение , получим

         По условию , значит, , поэтому 

         Рассмотрим оба возможных случая:

1)    если , т.е. если , то  и 

2)    если , т.е. если , то  и 

3.     Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя: , поэтому, имеем: .

Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:

=.

Тогда при , будем иметь:

=.

4.     Пользуясь теоремой Виета, вычислить:, где  и - корни уравнения .

Решение. Преобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Проведем тождественные преобразования:

Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена  больше нуля.

Действительно: . Следовательно, у уравнения  имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.

Таким образом, , и . Поэтому, имеем:

.